C++算法：二分查找（Binary Search）

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1.二分查找的意义

2.标准查找、lower_bound()与upper_bound()

 lower_bound手写代码：

upper_bound手写代码：

3.广告时间

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编程使我快乐

1.二分查找的意义

        在我们从数组中查找给定数据时，通常会使用枚举法，枚举法的图例和标程如下图所示：

a[0]

a[1]

......

a[n-2]

a[n-1]

  指针i的值：           0                          1                  ......               n-2                 n-1

bool flag=0;
for(int i=0;i

           也就是说，在枚举查找里，要一个不漏的查找完所有数据，最坏情况下时间复杂度为O(n)。这就导致程序的时间消耗非常巨大，若a数组的最大下标为1000000，则程序也需要查找1000000次，很容易导致TLE（Time Limit Exceeded）。那么有没有一种更快捷的方法呢？

        当然有，这就是二分查找法（Binary Search），想象一下，对于一个无序数列，我们当然只能枚举，但如果是一个有序数列，那么在查找的过程中就会有迹可循。

a[0]

a[1]

......

a[n-2]

a[n-1]

        比如上面的数组a[n]，满足a[0] < a[1] < ...... < a[n-2] < a[n-1]。则如果要查找的数x < a[t]，那么显然x不能在a[t]~a[n-1]的区间里（a[t]，a[t+1]，......，a[n-1]均 > a[t] > x），这样查找的范围就变成了a[0]，a[1]，......，a[t-1]（如果x > a[t]，则范围变成a[t+1]，a[t+2]，......，a[n-1]；若x=a[t]，则t即为查找到的下标）。最佳情况：t = (n-1) / 2 时，刚刚的操作就直接将查找范围折半，故二分查找也被称为“折半查找”。

        二分查找（橙色线）的时间复杂度为O(log2(n))，相比于枚举（蓝色线）要更加省时，比如1024个数据，枚举在最坏情况下需查找1024次，而二分查找只需要10次即可。

 

2.标准查找、lower_bound()与upper_bound()

        二分查找的标程如下：

int Bianry_Search(int a[], int x) //封装为函数
{
    int l = 1, r = n; //l，r也可以写作low_bound和up_bound，意为下区间和上区间
    while (l < r) //循环解除当且仅当l=r（即查找到目标值下标）时
    {
        int mid = (l + r) >> 1; //mid表示中间值（middle），“x>>1”表示x右移一位（除以2）
        if (a[mid] < x)
            l = mid + 1;
        else
            r = mid - 1;
    }
    return l; //最后返回l或r都没有关系
}

        注意这里的二分查找是保证查找数据在数组里只有1个，否则返回的会是查找值之集中下标的中位数。那么，如果要查找这些数据中的第一个或最后一个该怎么办呢？头文件里含有许多封装好的函数：

#include
using namespace std;

int main()
{
    lower_bound(a,a+n) //查找a[0...n]区间内第一个出现的值
    upper_bound(a,a+n) //查找a[0...n]区间内最后一个出现的值
}

 lower_bound手写代码：

int Binary_Search(int a[], int x)
{
    if (a[n] < x)
        return n + 1;
    int l = 1, r = n;
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (a[mid] < x)
            l = mid + 1;
        else
            r = mid;
    }
    return l;
}

upper_bound手写代码：

int Binary_Search(int a[], int x)
{
    if (a[1] > x)
        return n + 1;
    int l = 1, r = n;
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r + 1) >> 1;
        if (a[mid] <= x)
            l = mid;
        else
            r = mid - 1;
    }
    return l;
}

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