数据结构——二叉树

1.什么是树？
树（Tree）是n（n>=0)个节点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：

（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点；

（2）当n>1时，其余节点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

此外，树的定义还需要强调以下两点：

（3）n>0时根节点是唯一的，不可能存在多个根节点，数据结构中的树只能有一个根节点。

（4）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

如图一为一棵有10个节点的一般树：

图一

2.树的基本内容定义

（1）节点的度:节点拥有的子树数目称为节点的度。

图二中标识了树的各个节点的度。

图二

（2）节点关系：节点子树的根节点为该节点的孩子节点。相应该节点称为孩子节点的双亲节点。图3.2中，A为B的双亲节点，B为A的孩子节点。

  同一个双亲节点的孩子节点之间互称兄弟节点。图二中，B与C互为兄弟节点，GHI互为兄弟节点，EF互为兄弟节点。

（3）节点层次：从根节点开始，根节点为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。

图三表示了树的层次关系

图三

（4）树的深度：树中节点的最大层次数称为树的深度或高度。图一所示树的深度为4。

3.二叉树

二叉树是n(n>=0)个节点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树组成。

图四展示了一棵一般二叉树：

图四

二叉树特点：

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：

（1）每个节点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的节点。

（2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。

（3）即使树中某节点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树种类：

（1）斜树：所有的节点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有节点都是只有右子树的二叉树叫右斜树，这两者统称为斜树。如图五

（2）满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支节点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。如图六

满二叉树的特点有：

（1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。

（2）非叶子节点的度一定是2。

（3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的节点个数最多，叶子节点数最多。

图六

（3）完全二叉树：对一颗具有n个节点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的节点与同样深度的满二叉树中编号为i的节点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。 图七为一棵完全二叉树

图七

完全二叉树特点：

（1）叶子节点只能出现在最下层和次下层。

（2）最下层的叶子节点集中在树的左部。

（3）倒数第二层若存在叶子节点，一定在右部连续位置。

（4）如果节点度为1，则该节点只有左孩子，即没有右子树。

（5）同样节点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。

注意：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。

二叉树的存储结构

顺序存储:二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的节点，并且节点的存储位置，就是数组的下标索引。

图七所示的一棵完全二叉树采用顺序存储方式，如图八所示

图八

但是当二叉树不为完全二叉树时：如我们的斜树，按照顺序存储结构为：可以看出部分没用利用，造成空间浪费。

图九

二叉链表

  既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求，那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知，二叉树的每个节点最多有两个孩子。因此，可以将节点数据结构定义为一个数据和两个指针域。如下图

图十

则图七所示的完全二叉树可以采用图表示。

图11