假设检验（z-test）

题目：

We’re trying to test whether a new,low-fat diet actually helps obese people lose weight.100 randomly assigned obese people are assigned to group 1 and put on the low fat diet.Another 100 randomly assigned obese people are assigned to group 2 and put on a diet of approximately the same amount of food,but not as low in fat.After 4 months,the mean weight loss was 9.31 lbs. for group 1(s=4.67) and 7.40 lbs.(s=4.04) for group 2.

low-fat: x1¯=9.31 s1=4.67
control: x2¯=7.4 s2=4.04
x1¯−x2¯=1.91

对于“sampling distribution of difference of means”
期望： μx1¯−x2¯
方差： σ2x1¯−x2¯
又有公式

σ2x1¯−x2¯=σ2x1−x2n

其中, σ2x1−x2 为population的variance of difference

置信区间：
以95%的confidence interval为例：
因为是two-tails combine一共占5%，因此，需要在z-table中找到值为2.5%的，此时，z=1.96
此时，置信区间的意义就有了：
我们能说：
95% chance that μx1¯−x2¯ is within 1.96 σ2x1¯−x2¯ of 1.91.

接下来的事就是计算 σ2x1¯−x2¯ ，
上面提到的计算这个未知量的公式，此处并不能用，因为并没有一个sample是关于 x1−x2 的，因此，无法用单个sample的 s2 来作为population的 σ2 估计，再使用公式推出sampling distribution的 σ2x¯

而由已知量入手，

σ2x1¯−x2¯=σ2x1¯+σ2x2¯=σ2x1¯100+σ2x2¯100=s21100+s22100σx1¯−x2¯=0.617

最后，可以说成：
95% confidence interval for μx1¯−x2¯ 1.91 ± 1.21

假设检验：

先设定significance level=5%

null hypothesis: low-fat diet dose nothing.

H0:μ1−μ2=0=>μx1¯−x2¯=0
H1:μ1−μ2>0=>μx1¯−x2¯>0

首先，根据z-table找出5%的z值，为1.65

z=样本结果值−估计值σx1¯−x2¯

z∗σx1¯−x2¯+0=1.01805<μx1¯−x2¯=1.91

因此拒绝假设

(其实分母原始写法为：

s2n−−−√

)