数学知识----质数

质数

质数是针对于大于1的自然数定义的，小于等于1的数既不是质数也不是合数
质数：
在大于1的整数中，如果只包含1和本身这两个约数，就被称为质数，或者叫素数

试除法判定质数

朴素做法：

package luogu.数学知识.质数;

import java.util.Scanner;

public class 质数的判定_试除法 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        System.out.println( is_prime(n) );
    }

    static boolean is_prime( int n ) {
        if ( n<2 ) return false;
        for ( int i=2; i<n; i++ ) {
            if ( n%i==0 ) return false;
        }
        return true;
    }
}

优化：

package luogu.数学知识.质数;

import java.util.Scanner;

public class 质数的判定_试除法 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        System.out.println( is_prime(n) );
    }

    static boolean is_prime( int n ) {
        if ( n<2 ) return false;
        //不写成 i*i<=n 如果i过大，那么会存在溢出的可能
        //也不写成sqrt 速度较慢
        for ( int i=2; i<=n/i; i++ ) {
            if ( n%i==0 ) return false;
        }
        return true;
    }
}

分解质因数

package luogu.数学知识.质数;

import java.util.Scanner;

public class 分解质因数 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        divide(n);
    }

    static void divide( int n ) {
        for ( int i=2; i<=n; i++ ) {
            if ( n%i==0 ) {
                int s = 0;
                while ( n%i==0 ) {
                    n /= i;
                    s++;
                }
                System.out.println(i+" "+s);
            }
        }
    }
}

优化：
n中最多只有一个大于sqrt(n)的质因子，因为如果有两个相乘会大于n

package luogu.数学知识.质数;

import java.util.Scanner;

public class 分解质因数 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        divide(n);
    }
    static void divide( int n ) {
        for ( int i=2; i<=n/i; i++ ) {
            if ( n%i==0 ) { //i一定为质数
                //不为质数的数为某个质数的倍数，该个质数已经被除完
                int s = 0;
                while ( n%i==0 ) {
                    n /= i;
                    s++;
                }
                System.out.println(i+" "+s);
            }
        }
        if ( n>1 ) System.out.println(n+" "+1);
    }
}

筛素数

一个数不是质数，这个数的倍数也不为质数
一个数为质数，这个数的倍数不为质数

package luogu.数学知识.质数;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;

public class 筛素数 {
    static ArrayList<Integer> prime = new ArrayList<>();
    static boolean[] nums = null;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        nums = new boolean[n+1];
        getPrime(n);
        System.out.println(prime.toString());
    }

    static void getPrime( int n ) {
        for ( int i=2; i<=n; i++ ) {
            //为素数
            //去除素数的倍数
            if ( !nums[i] ) {
                prime.add(i);
            }
            //去除倍数
            for ( int j=i+i; j<=n; j+=i ) {
                nums[j] = true;
            }
        }
    }
}

优化–埃氏筛法

package luogu.数学知识.质数;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;

public class 筛素数 {
    static ArrayList<Integer> prime = new ArrayList<>();
    static boolean[] nums = null;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        nums = new boolean[n+1];
        getPrime(n);
        System.out.println(prime.toString());
    }

    static void getPrime( int n ) {
        for ( int i=2; i<=n; i++ ) {
            //为素数
            //去除素数的倍数
            if ( !nums[i] ) {
                prime.add(i);
                //去除倍数
                for ( int j=i+i; j<=n; j+=i ) {
                    nums[j] = true;
                }
            }

        }
    }
}

线性筛法

package luogu.数学知识.质数;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;

public class 筛素数 {
    static ArrayList<Integer> prime = new ArrayList<>();
    static boolean[] nums = null;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        nums = new boolean[n+1];
        getPrime(n);
        System.out.println(prime.toString());
    }

    static void getPrime( int n ) {
        for ( int i=2; i<=n; i++ ) {
            //为素数
            //去除素数的倍数
            if ( !nums[i] ) {
                prime.add(i);
            }
            for ( int j=0; prime.get(j)<=n/i; j++ ) {
                nums[prime.get(j)*i] = true;
                if ( i%prime.get(j)==0 ) break;
            }
        }
    }
}

每次循环，遍历一次素数，除去素数对应的倍数