SPSS超详细操作：分层回归(hierarchical multiple regression)
1、问题与数据
最大携氧能力(maximal aerobic capacity, VO2max)是评价人体健康的关键指标，但因测量方法复杂，不易实现。某研究者拟通过一些方便、易得的指标建立受试者最大携氧能力的预测模型。
目前，该研究者已知受试者的年龄和性别与最大携氧能力有关，但这种关联强度并不足以进行回归模型的预测。因此，该研究者拟逐个增加体重(第3个变量)和心率(第4个变量)两个变量，并判断是否可以增强模型的预测能力。
本研究中，研究者共招募100位受试者，分别测量他们的最大携氧能力(VO2max)，并收集年龄(age)、性别(gender)、体重(weight)和心率(heart_rate)变量信息，部分数据如下：
注：心率（heart_rate）测量的是受试者进行20分钟低强度步行后的心率。
2、对问题的分析
研究者拟判断逐个增加自变量(weight和heart_rate)后对因变量(VO2max)预测模型的改变。针对这种情况，我们可以使用分层回归分析(hierarchical multiple regression)，但需要先满足以下8项假设：
假设1：因变量是连续变量
假设2：自变量不少于2个（连续变量或分类变量都可以）
假设3：具有相互独立的观测值
假设4：自变量和因变量之间存在线性关系
假设5：等方差性
假设6：不存在多重共线性
假设7：不存在显著的异常值
假设8：残差近似正态分布
那么，进行分层回归分析时，如何考虑和处理这8项假设呢？
3、对假设的判断
3.1 假设1-2
假设1和假设2分别要求因变量是连续变量、自变量不少于2个。这与研究设计有关，需根据实际情况判断。
3.2 假设3-8
为了检验假设3-8，我们需要在SPSS中运行分层回归，并对结果进行一一分析。
(1)点击Analyze→Regression→Linear
出现下图：
(2)将因变量（VO2max）放入Dependent栏，再将自变量（age和gender）放入Independent栏：
解释：因研究者已知性别、年龄与最大携氧能力的关系，我们先把这两个变量放入模型。
(3)点击Next，弹出下图：
解释：大家可能会注意到Independent(s)框中的标签由-Block 1 of 1- 变为-Block 2 of 2-。这说明age和gender变量依旧存在于模型中，在- Block 2 of 2-中，大家可以点击Previous查看。同时，Method栏应设置为“Enter”，一般是SPSS自动设置的；如果不是，也应人工设置为“Enter”。
(4) 将自变量(weight)放入Independent栏
解释：放入weight变量是为了检验加入该变量后对age、gender-VO2max预测模型的影响。
(5)点击Next，弹出下图：
解释：大家可能会注意到Independent(s)框中的标签由-Block 2 of 2- 变为-Block 3 of 3-。同样地，age、gender和weight变量依旧存在于模型中，可以点击Previous查看。Method栏也应设置为“Enter”，如果不是，改为“Enter”。
(6)将自变量(heart_rate)放入Independent栏
解释：放入heart_rate变量是为了检验加入该变量后对age、gender、weight-VO2max预测模型的影响。
(7)点击Statistics，弹出下图：
(8)在Regression Coefficient框内点选Confidence intervals，在Residuals框内点选Durbin-Watson和Casewise diagnosis，并在主对话框内点选R squared change、Descriptives、Part and partial correlations和Collinearity diagnosis
(9) 点击Continue，回到主界面。
(10)点击Plots，弹出下图：
(11)在Standardized Residual Plots对话框中点选Histogram和Normal probability,并点选Produce all partial plots
(12)点击Continue回到主对话框
(13) 点击Save
(14)在Predicted Values框内点选Unstandardized，在Distances框内点选Cook’s和Leverage values，在Residuals框内点选Studentized和Studentized deleted
(15)点击Continue→OK
经过这些操作，Variable View 和Data View对话框中会增加5个变量：
这5个变量分别是未标化预测值(unstandardized predicted values，PRE_1)，学生化残差(studentized residuals，SRE_1)，学生化删除残差(studentized deleted residuals，SDR_1)，Cook距离(Cook's Distance values，COO_1)以及杠杆值(leverage values，LEV_1)。
根据这5个新增变量和其他结果，我们将逐一对假设3-8进行检验。
注意：分层回归对假设3-8的检验过程与多重线性回归基本一致，为避免重复讲解，我们在本章节只介绍基本原理，详细内容请参见多重线性回归分析。
3.2.1 假设3：具有相互独立的观测值
观测值之间相互独立是分层回归的基本假设之一，主要检验的是1st-order autocorrelation，即邻近的观测值（主要是残差）之间没有相关性。我们根据SPSS中的Durbin-Watson检验判断该假设，如果不满足，则需要运用其他模型，如时间序列模型等。
3.2.2 假设4：自变量和因变量之间存在线性关系
分层回归不仅要求因变量与所有自变量存在线性关系，还要求因变量与每一个自变量之间存在线性关系。其中，我们主要通过绘制未标化预测值(PRE_1)和学生化残差(SRE_1)的散点图检验因变量与所有自变量之间的线性关系。
而为检验因变量与每一个自变量之间是否存在线性关系，我们则需要分别绘制每个自变量与因变量的散点图。如果假设4不满足，我们可以尝试进行数据转换或者其他统计方法。
3.2.3 假设5：等方差性
等方差性也可以通过学生化残差(SRE_1)与未标化预测值(PRE_1)之间的散点图进行检验。如果研究结果提示不满足等方差性假设，我们也可以通过一些统计手段进行矫正，如对自变量进行转换或采用加权最小二乘法回归方程等。
3.2.4 假设6：不存在多重共线性
当回归中存在2个或多个自变量高度相关时，就会出现多重共线。它不仅可影响自变量对因变量变异的解释能力，还影响整个分层回归模型的拟合。
为了检验假设6，我们主要关注相关系数(correlation coefficients)和容忍度/方差膨胀因子(Tolerance/VIF)两类指标。一般来说，如果自变量之间的相关系数大于0.7，或者容忍度小于0.1，方差膨胀因子大于10，我们就会怀疑模型存在多重共线性。
3.2.5 假设7：不存在显著的异常值
根据作用方式的不同，分层回归的异常值主要分为离群值(outliers)、强杠杆点(leverage points)和强影响点(influential points)3类。异常的观测值可以符合其中一类或几类。但无论是哪一类都对分层回归的预测能力有着严重的负面影响。好在我们可以通过SPSS检测这些异常值。
其中，(1) 离群值是指实际值与预测值相差较大的数据，可以用Casewise Diagnostics检验和学生化删除残差(SDR_1)两种方法进行检验。(2) 我们通过数据的杠杆值(LEV_1)检测强杠杆点。(3) 而强影响点主要通过Cook距离(COO_1)进行检测。如果存在这些异常值，我们可以根据实际情况判断是否需要剔除或调整。
3.2.6 假设8：残差近似正态分布
在分层回归中，我们可以使用两种方法判断回归残差是否近似正态分布：(1) 带正态曲线的柱状图或P-P图；(2) 根据学生化残差绘制的正态Q-Q图。详细内容参见多重线性回归分析。
4、结果解释
分层回归可以得到3个主要结果：
新增自变量解释因变量变异的比例
根据自变量预测因变量
自变量改变一个单位，因变量的变化情况
为了更好地解释和报告分层回归的结果，我们需要统计以下3个方面：
各模型的比较
模型的拟合程度
回归系数
4.1 各模型的比较
比较不同模型是进行分层回归的主要目的。SPSS输出变量纳入结果，如下：
从Model栏可以看出，本研究共有3个模型：Model 1、Model 2和Model 3。Variables Entered栏显示该研究中每个模型较前一个模型增加的变量。
Model 1是第一个模型，没有前序变量，因此该模型的自变量只有gender和age。Model 2比前一个模型(Model 1)增加了weight变量；Model 3比Model 2增加了heart_rate变量。这3个模型的纳入变量与之前的SPSS操作一致，如下：
必须注意的是，Model 2和Model 3中纳入的变量都是在上一个模型基础上的。比如，Model 3是在Model 2的基础上纳入heart_rate变量，即共纳入age、gender、weight和heart_rate四个变量，而不是heart_rate一个变量，具体解释如下：
4.2 判断分层回归模型的拟合程度
判断分层回归模型拟合程度的指标有很多，我们主要向大家介绍变异的解释程度、R2值在各模型间的变化和模型的统计学意义3个指标。
4.2.1变异的解释程度
分层回归中的每个模型都相当于一个强制纳入变量（Enter method）的多重线性回归模型，具体评价指标也相似：
Measures of model ‘fit’ for the three models: 分别评价本研究中3个模型的拟合程度
R2是多层回归的重要指标，反映自变量解释因变量变异的程度。从上表可以看出，随着自变量数量的增加，模型1-3的R2逐渐增加，分别是0.188、0.427和0.710，提示各模型对因变量的预测能力逐渐加强。
但是分层模型主要是检验增加自变量是否具有统计学意义，如模型2增加了weight变量后R2的变化是否具有统计学意义呢？我们将在4.2.2节为详细大家介绍。
4.2.2R2值在各模型间的变化
为了判断新增变量对回归的影响，我们需要关注下表的右半部分：
Assessing model change：对比模型变化
R Square Change栏显示的是该模型与上一个模型R2的差值，Sig. F Change栏显示的是该差值的统计检验的P值。以Model 1为例，如下：
Initial Model（Model 1）：模型1
模型1是初始模型，在空模型的基础上增加了age和gender两个变量。该模型的R2差值（R Square Change栏）和R2值（R Square栏）相同，均为0.188。R2差值具有统计学意义，P<0.001（Sig. F Change栏）。
模型2在模型1的基础上增加了weight变量，R2值的变化情况如下：
Change between Model 1 and Model 2: 对比模型1和模型2
模型2的R2差值为0.239，即模型2的R2值(0.427)与模型1的R2值(0.188)的差。Sig. F Change栏提示，P<0.001，即模型2的R2差值具有统计学意义。
在本研究中，模型2与模型1的差别仅在于weight变量，提示在回归中纳入weight变量后自变量对因变量变异的解释能力增加23.9%（P<0.001），即纳入体重变量对受试者最大携氧能力的预测改善有统计学意义。
解释：如果我们在模型2中增加了不止一个变量，那么R2值的改变就是所有新增变量共同作用的结果，而不是某一个变量的。
模型3在模型2的基础上增加了heart_rate变量，R2值的变化情况如下：
Change between Model 2 and Model 3：对比模型2和模型3
模型3的R2差值为0.283，即模型3的R2值（0.710）与模型2的R2值（0.427）的差。Sig. F Change栏提示，P<0.001，即模型3的R2差值具有统计学意义。提示在回归中纳入heart_rate变量后自变量对因变量变异的解释能力增加28.3%（P<0.001），即纳入心率变量对受试者最大携氧能力的预测改善有统计学意义。
4.2.3 模型的统计学意义
分层回归的每一个模型都相当于一个多重线性回归模型。SPSS输出ANOVA表格中包括对每一个模型的评价，如下：
一般来说，我们习惯性只汇报最终模型的结果（本研究的模型3），如下：
模型3是全模型，纳入gender、age、weight和heart_rate四个变量。结果示，该模型具有统计学意义，F(4,95)=58.078，P<0.001，提示因变量和自变量之间存在线性相关，说明相较于空模型，纳入这四个自变量有助于预测因变量。
注释：如果SPSS输出的结果中“Sig”值为“.000”，代表的是P<0.001，而不是P=0.000。同时，如果P>0.05，我们最好在报告中写清楚具体数值，如P=0.092，从而为读者提供更多的信息。
4.3回归系数
正如前文所述，分层回归模型主要关注的是最终模型，即本研究中的模型3，在对回归系数进行解释时也是如此。
Full model （Model 3）：模型3
我们可以按照多重线性回归的分析方法对分层回归系数进行解释。连续变量(如age变量)的回归系数表示自变量每改变一个单位，因变量的变化情况。分类变量(如gender变量)的回归系数表示不同类别之间的差异，详细内容参见多重线性回归。
值得注意的是，我们运行分层回归的主要目的是分析是否有必要增加新的自变量，而不是进行预测，回归系数不是我们主要关注的结果。但是如果在汇报时需要提供回归系数，我们也可以把这部分增加在报告中。
5、撰写结论
5.1 简洁汇报
本研究采用分层回归，分析逐步增加体重和心率变量是否可以提高性别、年龄对最大携氧能力的预测水平。最终模型(模型3)纳入性别、年龄、体重和心率4个变量，具有统计学意义R2=0.710，F(4, 95) = 58.078 (P<0.001)，调整R2=0.698。
仅增加体重变量(模型2)后，R2值增加0.239，F(1, 96) = 40.059(P<0.001)，具有统计学意义。增加心率变量(模型3)后，R2值增加0.283，F(1, 96) = 92.466(P<0.001)，具有统计学意义，具体结果见表1。
表1. 分层回归结果
5.2具体汇报
本研究采用分层回归，分析逐步增加体重和心率变量是否可以提高性别、年龄对最大携氧能力的预测水平。通过绘制部分回归散点图和学生化残差与预测值的散点图，判断自变量和因变量之间存在线性关系。
已验证研究观测值之间相互独立（Durbin-Watson检验值为1.910）；并通过绘制学生化残差与未标化的预测值之间的散点图，证实数据具有等方差性。
回归容忍度均大于0.1，不存在多重共线性。异常值检验中，不存在学生化删除残差大于3倍标准差的观测值，数据杠杆值均小于0.2，也没有Cook距离大于1的数值。Q-Q图提示，研究数据满足正态假设。
最终模型（模型3）纳入性别、年龄、体重和心率4个变量，具有统计学意义R2=0.710，F(4, 95) = 58.078 (P<0.001)，调整R2 = 0.698。仅增加体重变量(模型2)后，R2值增加0.239，F(1, 96) = 40.059 (P<0.001)，具有统计学意义。增加心率变量(模型3)后，R2值增加0.283，F(1, 96) = 92.466 (P<0.001)，具有统计学意义，具体结果见表1。
表1.分层回归结果
解释：我们为了尽可能地向大家展示分层回归结果，在表1里纳入了所有可能需要汇报的指标。但在实际工作中，大家可能并不需要汇报这么多，应视情况而定。