自然常数e的含义与美丽

事实上在中学阶段，我对自然常数e是很反感的，因为一旦遇到e基本上就是要对它进行平方或者立方计算，要不然就是求以自然常数e为底的对数是多少，而偏偏e这个东西又是个无理数，截取小数点后两位的话则是2.71，算起来很麻烦，自然对它没什么好的态度，直到研究生毕业依然没有建立起对e的直观概念。

直到在工作中，因为要用到傅里叶变化，便重新学习傅里叶变化，学着学着，发现是因为我没有理解傅里叶变化里面的欧拉公式，才导致的我不能完全明白傅里叶变化，于是便开始看有关欧拉公式的资料。虽然欧拉公式很简单，就五个元素组成e、π、i、1和0，但是我却对e和i是什么完全没有概念，这才回过头来看我高中就学习到的知识e和i，而在这个过程中，我才明白为什么e会被叫做自然常数。

那么e是什么呢？答案非常简单，就是增长的极限。如果我们用银行利息来做例子，会很直观的看到什么是增长的极限。

假设银行的存款利率达到了100%，意味着如果我今年存了1块钱，我明年能拿到1块钱本金和1块钱的利息，也就是说年底我会拿到2块钱。

假如银行可以每半年地付息，那么我们就可以在半年后拿到1.5块钱，然后再用这1.5块钱，继续利滚利，满一年之后，我们就可以拿到2.25元。

那如果银行还能提供每季度地付息，那我们年底的收入会更高，能拿到2.37呢。 日息的话，我们则可以拿到2.7145块钱，那如果每秒都付息呢？答案是2.7182817813块钱。

看到这里我想大家也差不多明白了，那就是在100%的年利率下，无论是每秒付息，还是每毫秒付息甚至是每微秒付息，利滚利之下永远不可能超过一个极限，而这个极限就是e。

数学上，我们可以用 下面这个公式

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来表达其中的含义。

所以这么看来，e也就意味着在单位时间内，持续翻倍所能达到的极限。在自然界里比如细胞的繁殖，在工程上比如闭环电路里电压稳态建立的时间，都跟e息息相关。

事实上关于e还有两个非常有趣的特性，第一个就是ex的导数还是ex，无论求多少次导ex都岿然不动，仍是自己。所以有的时候，我们会在计算的过程中乘上一个ex，然后对其求导，再进行处理。

第二个特性则直接体现了e的美丽。在上高数的时候，我们学过一种坐标系叫做极坐标系。如果我们把ex放到极坐标系里面变成eΘ，那么会发生什么呢？

答案就是下面这个图片

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那么自然界中有什么相似的图形吗？

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这些图片是不是看着很眼熟？

在工程上，我们一般用10也好，2也好，都是为了方便而人为选用的。但是只有e不是人为造出来的而是从大自然中观察到的。按照古希腊的自然思想来看，对于一个完美的圆，π才是自然的。同样对于最快速的指数增长，e才是自然的，它是指数增长的本身的属性。

文章写到这里，在这里我要感谢张英峰老师在网络上无私的分享，也正是他的文章才让我看到了何为自然常数e以及它的含义，同时本文也是整理自张英峰老师在知乎上的分享，在此特别声明。同时也不禁感叹，正是古人们对数学孜孜不倦的探究才让我们能够感受到大自然里蕴含的数学之美。