算法导论【在线算法】—The Ski-Rental Problem、The Lost Cow Problem、The Secretary Problem

The Ski-Rental Problem

问题描述

• 假设你正在上滑雪课。每节课结束后，你决定（取决于你喜欢的程度、你的骨骼状况和天气）是继续滑雪还是完全停止滑雪。
• 你可以选择以1美元一次的价格租用滑雪板，也可以以B美元的价格购买滑雪板。
• 你是买还是租？
• 如果你事先知道你一生中会滑雪多少次，那么选择租还是买就很简单了。
• 如果你要滑雪超过$B$次，那就在开始前购买，否则就一直租。该算法的代价为$min(T,B)$。
• 这种对未来了如指掌的策略被称为离线策略。

在线算法

• 实际上，你不知道你会滑雪多少次。你该怎么办？
• 在线策略是：取一个数字k，这样在租用k−1次后，您将购买滑雪板（就在第k次滑雪之前）。
• 如果我们取$k=B$，那么可以保证我们支付不会超过离线策略成本两倍的费用
• 例如：假设B=7美元，那么，在6次租金之后，你就买了。总付款：6+7=13$

证明

最坏情况下，$k=B$，我们选择在滑雪次数$T=k-1$次后再也不滑雪，那么在线算法的总费用为$B-1+B=2B-1$，而离线算法取得的最优解为$min(T,B)=B$，此时竞争比为$$\frac{2B-1}{B}=2-\frac{1}{B}$$，则我们说这个策略是$(2-\frac{1}{B})$竞争的

The Lost Cow Problem

问题描述

• Old McDonald失去了他最喜欢的奶牛。最后一次看到它朝着通向两条无限道路的路口行进。没有一位目击者能说出奶牛是选择了左边还是右边的路线。
• 

在线算法

• 在线算法是9-competitive的，换句话说：在找到奶牛之前可能经过的距离最多是最佳离线算法（知道奶牛在哪里）距离的9倍
• 最坏的情况是，他发现奶牛的距离比他上次在这一侧搜索的距离稍远
• 因此，$OPT=2j+\epsilon$，其中$j=$迭代次数，$\epsilon$是某个小距离。然后
• 
• 伪代码如下：

类似问题—寻宝藏

$m$条路编号为$1,2,\mathrm{3...}m$，从第一条路开始寻找，初始寻找距离为$d=1$，如果在这个距离内找到了宝藏则结束寻找，没找到则寻找距离翻倍，切换至寻找下一条路径，路径编号对$m$取模，保证每次寻找的路径都是合法的，直到找到宝藏。

Treasure(m)
d = 1;current side = 1
while true do
	Walk distance d on current side
        if find treasure then
            exit
        else
            d = 2d
            current side = (current side+1)%m
            return to starting point

该算法的竞争比为$O(m)$

证明：

​ 最坏的情况是，发现宝藏的距离比上次在这条路上搜索的距离稍远一点点，因此，最优解为$OPT：2^j+\epsilon$，其中$j$=迭代次数，$\epsilon$是某个小距离。则：

$$\begin{array}{rl}CostOPT& =2^j+\epsilon >2^j\\ CostON& =m(1+2+4+...+2^{j+1})+2^j+\epsilon \\ & =m\cdot 2^{j+2}+2^j+\epsilon =(4m+1)\cdot 2^j+\epsilon <(4m+1)\cdot CostOPT\end{array}$$

所以竞争比为$O(4m+1)=O(m)$

The Secretary Problem

问题描述

• 我们有n位候选人（可能是求职者或可能的婚姻伴侣）。
• 我们的目标是选择最好的候选人。
• 假设候选人可以从最好到最坏完全排序，没有任何联系。
• 候选人以随机顺序依次到达。
• 我们只能在候选人到达时确定他们的相对排名。
• 我们不能观察绝对等级。
• 每次面试后，我们必须立即接受或拒绝申请人。
• 候选人一旦被拒绝，就不能被召回。
• 一旦候选人被录取，我们就停止面试。

在线算法

• 已知候选人数n
• 在线策略在遇到第i位候选人后，我们能够给出分数score(i)。
• 选择一个正整数k，面试并拒绝前k位候选人。
• 继续面试剩下的n-k位，并接受第一位得分高于前k位候选人的候选人。
• 如果最高分在第一批面试的k人里，那么我们必须接受第n位即最后一位申请人
• 伪代码：

The Best Possible k

结论：如果我们在$k=\frac{n}{e}$的情况下实施我们的策略，我们将以至少$\frac{1}{e}$的概率成功雇佣我们最合格的申请人