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从模拟信号到数字信号
模拟一个数字信号
对FFT结果进行分析
快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform),即利用计算机对数字信号进行快速、高效的离散傅里叶变换(DFT)计算方法的统称,简称FFT,于1965年由J.W.库利和T.W.图基提出。公式我这里就不贴了。当你在工作中用到了FFT,下面列出的两种理解希望你能立刻回想起来。
首先,我们介绍一下模拟和数字信号的桥梁-奈奎斯特采样定理。具体定理含义是在进行模拟转换数字信号的过程中。当采样频率fs大于模拟信号中最高频率(对应雷达就是最大中频信号)的二倍的时候,采样之后的数字信号能完整保留原始模拟信号中的信息。我们通过以转轮为例来理解一下采样周期和信号周期的关系。
我们把转轮分成8个等分的扇形,扇形的每个直边都涂上不一样的颜色,设轮子t时间正向旋转一个周期。如果我们每t/8对轮子拍照,我们能清晰的看到轮子是在正向旋转。如果我们每t/4对轮子拍照,我们也能分辨出轮子是在正转。但是我t/2周期对轮子拍照,这时我们已经分不清轮子是在正向转还是反向转,如果我们以3t/4周期采样,我们甚至会觉得轮子在反转。由此,我们得到了一个非常重要的公式:。
在雷达中,我们通过高速ADC对模拟信号采样,如下:
在我们的毫米波雷达中,一般都需要将接收器的中频输出信号变换为正交的两路基带信号,即采用I、Q双路采样,这样就能保留了信号的相位信息,所以ADC的最高采样率大于等于最大的中频频率即可,不用大于它的二倍。
假设我们有一个信号,它含有1V的直流分量,频率为40Hz、相位为-20度、幅度为2V的交流信号,以及一个频率为65Hz、相位为90度、幅度为3.5V的交流信号。用数学表达式就是如下(式中cos参数为弧度,所以-30度和90度要分别换算成弧度):
我们对这个信号进行采样,就可以做FFT变换了。N个采样点,经过FFT之后,就能得到N个点的FFT结果。我们使用256Hz的采样率(Fs)进行采样,总共采样256个点,那么FFT之后的结果就是一个N点的复数。原始信号如下:
Matlab代码如下:
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Adc=1; %直流分量幅度
A1=2; %频率F1信号的幅度
A2=3.5; %频率F2信号的幅度
F1=40; %信号1频率(Hz)
F2=65; %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-20; %信号1相位(度)
P2=90; %信号相位(度)
N=256; %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title('原始信号');
采样点为N,则FFT之后的结果为一个N点的复数。针对FFT结果中的每一个点对应着一个频率点,这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性,具体点说,假设原始信号中该频率分量的峰值是A,那个FFT的每一个结果点(除了第一个0频点)的模值就是A的N/2倍。而这个点的相位,反映的是这个频率分量的初始相位。(对于0频点,也就是直流分量,结果点的模值是A的N倍)
第一个点表示直流分量(即0Hz),而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率依次增加。则某点n所表示的频率Fn=(n-1)*Fs/N。由此可以得出,Fn所能分辨到的频率为Fs/N。按我们的例子来说,采样频率为256Hz,采样点数为256个点,则可以分辨到1Hz。又因为采样时长Tc=N/Fs,所以能够得到频率分辨率和采样时间是倒数关系,这也是前文《毫米波传感器介绍:测距》中提到的,观测期(或者观测窗口)越长,傅里叶解析效果越好。
假设FFT之后某点n用复数a+bi表示,那么这个复数的模为,相位就是
,求的是坐标为(a,b)点的角度值,范围是-pi到pi。根据以上的结果,就可以计算出n点(n≠1,且n<=N/2)对应的信号的表达式为:An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号,是直流分量,幅度即为A1/N。
现在我们对上一小节的数字信号做FFT运算,我们的信号有0Hz、50Hz、75Hz,按照我们之前分分析和采样配置,我们应该在第1个点,第41个点和第66个点上出现峰值,程序如下:
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
其结果也如我们所料如下:
这三个点的数据如下:
按照公式,可以计算出直流分量为:256/N=256/256=1;50Hz信号的幅度为:255/(N/2)=255/(256/2)=2;75Hz信号的幅度为448/(N/2)=448/(256/2)=3.5。可见,从频谱分析出来的幅度是正确的。
然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言,不用管它。先计算50Hz信号的相位,atan2(-87, 240)=-0.3478,结果是弧度,换算为角度就是180*(-0.3478)/pi=-19.9。再计算75Hz信号的相位,atan2(448, 1.058E-11)=1.5708弧度,换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见,相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算,我们就可以写出信号的表达式了,它与我们开始提供的信号一致。
在实际的毫米波雷达的FFT加速核的使用过程中,我们还有一些地方需要我们注意。
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