雷达编程实战之FFT的物理意义

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从模拟信号到数字信号

模拟一个数字信号

对FFT结果进行分析

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快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform)，即利用计算机对数字信号进行快速、高效的离散傅里叶变换（DFT）计算方法的统称，简称FFT，于1965年由J.W.库利和T.W.图基提出。公式我这里就不贴了。当你在工作中用到了FFT，下面列出的两种理解希望你能立刻回想起来。

• 一般我们所看到的世界是时域的世界，但是可以通过FFT，傅里叶级数进行转换，将时域转换为频域。
• 傅里叶变化实质就是自动搜索，调整相位，然后累加形成峰值。峰值对应的参数根据需要供后续处理用。

从模拟信号到数字信号

首先，我们介绍一下模拟和数字信号的桥梁-奈奎斯特采样定理。具体定理含义是在进行模拟转换数字信号的过程中。当采样频率fs大于模拟信号中最高频率（对应雷达就是最大中频信号）的二倍的时候，采样之后的数字信号能完整保留原始模拟信号中的信息。我们通过以转轮为例来理解一下采样周期和信号周期的关系。

 我们把转轮分成8个等分的扇形，扇形的每个直边都涂上不一样的颜色，设轮子t时间正向旋转一个周期。如果我们每t/8对轮子拍照，我们能清晰的看到轮子是在正向旋转。如果我们每t/4对轮子拍照，我们也能分辨出轮子是在正转。但是我t/2周期对轮子拍照，这时我们已经分不清轮子是在正向转还是反向转，如果我们以3t/4周期采样，我们甚至会觉得轮子在反转。由此，我们得到了一个非常重要的公式:。

在雷达中，我们通过高速ADC对模拟信号采样，如下：

在我们的毫米波雷达中,一般都需要将接收器的中频输出信号变换为正交的两路基带信号，即采用I、Q双路采样，这样就能保留了信号的相位信息，所以ADC的最高采样率大于等于最大的中频频率即可，不用大于它的二倍。

模拟一个数字信号

假设我们有一个信号，它含有1V的直流分量，频率为40Hz、相位为-20度、幅度为2V的交流信号，以及一个频率为65Hz、相位为90度、幅度为3.5V的交流信号。用数学表达式就是如下(式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度):

我们对这个信号进行采样，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就能得到N个点的FFT结果。我们使用256Hz的采样率(Fs)进行采样，总共采样256个点，那么FFT之后的结果就是一个N点的复数。原始信号如下：

 Matlab代码如下：

close all; %先关闭所有图片
Adc=1; %直流分量幅度
A1=2;   %频率F1信号的幅度
A2=3.5; %频率F2信号的幅度
F1=40; %信号1频率(Hz)
F2=65; %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-20; %信号1相位(度)
P2=90; %信号相位(度)
N=256; %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻

S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title('原始信号');

对FFT结果进行分析

采样点为N，则FFT之后的结果为一个N点的复数。针对FFT结果中的每一个点对应着一个频率点，这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性，具体点说，假设原始信号中该频率分量的峰值是A，那个FFT的每一个结果点（除了第一个0频点）的模值就是A的N/2倍。而这个点的相位，反映的是这个频率分量的初始相位。（对于0频点，也就是直流分量，结果点的模值是A的N倍）

第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。则某点n所表示的频率Fn=(n-1)*Fs/N。由此可以得出，Fn所能分辨到的频率为Fs/N。按我们的例子来说，采样频率为256Hz，采样点数为256个点，则可以分辨到1Hz。又因为采样时长Tc=N/Fs,所以能够得到频率分辨率和采样时间是倒数关系，这也是前文《毫米波传感器介绍：测距》中提到的，观测期（或者观测窗口）越长，傅里叶解析效果越好。

假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模为，相位就是，求的是坐标为（a,b）点的角度值，范围是-pi到pi。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。

现在我们对上一小节的数字信号做FFT运算，我们的信号有0Hz、50Hz、75Hz，按照我们之前分分析和采样配置，我们应该在第1个点，第41个点和第66个点上出现峰值，程序如下：

figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');

其结果也如我们所料如下：

这三个点的数据如下：

• 第1个点： 256+0i
• 第41个点：240-87i
• 第66个点：1.058E-11+448

按照公式，可以计算出直流分量为：256/N=256/256=1；50Hz信号的幅度为：255/(N/2)=255/(256/2)=2；75Hz信号的幅度为448/(N/2)=448/(256/2)=3.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。 

然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-87, 240)=-0.3478,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.3478)/pi=-19.9。再计算75Hz信号的相位，atan2(448, 1.058E-11)=1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它与我们开始提供的信号一致。

在实际的毫米波雷达的FFT加速核的使用过程中，我们还有一些地方需要我们注意。

1. 我们需要针对参与运算的点数和窗函数将FFT的窗写入到指定的内存空间来参与接下来FFT的运算。
2. 在运算前还可以选择补零的点数与补零的方式，在做速度维FFT之前一般会针对不同天线来采取不同补零的位置。
3. 可以配置FFT输出的起始和终止点，这个功能主要用于像是1DFFT输出结果共轭时，我们只需要前N/2个点的输出，或者时2DFFT的时候，根据情况选择有意义的频段对应的点来输出。

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