3D游戏开发所需的数学基础——矩阵

一： 矩阵（matrix）的定义

矩阵的一般表达式，如3X3的矩阵：
M = $\left[\begin{array}{ccc}{m}_{11}& m_{12}& m_{13}\\ m_{21}& m_{22}& m_{23}\\ m_{31}& m_{32}& m_{33}\end{array}\right]$

上述的表达式用的是方括号包围，也可以用圆括号和花括号来表示，都是等价的。

前面讲的矢量其实就是一个数组，而矩阵也是一个数组。
矢量可以看成是nX1的列矩阵 或 1Xn的行矩阵。 这样就可以让矢量像一个矩阵一样一起参与矩阵运算，这在空间变换中非常有用。
例如，矢量 v= (1, 2, 3) 可以写成列矩阵：$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$， 或行矩阵$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$ 。

二： 矩阵运算

1. 矩阵和标量的乘法

矩阵的每个元素和该标量相乘。
kM = Mk = k$\left[\begin{array}{ccc}{m}_{11}& m_{12}& m_{13}\\ m_{21}& m_{22}& m_{23}\\ m_{31}& m_{32}& m_{33}\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}k{m}_{11}& k{m}_{12}& k{m}_{13}\\ k{m}_{21}& k{m}_{22}& k{m}_{23}\\ k{m}_{31}& k{m}_{32}& k{m}_{33}\end{array}\right]$

2. 矩阵和矩阵的乘法

矩阵和矩阵的乘法必须满足一下规定，不然就无法相乘：第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同，它
们相乘得到的矩阵的行数是第一个矩阵的行数，而列数是第二个矩阵的列数。

一个rXn的矩阵A和一个nXc的矩阵B，它们相乘会得到一个rXc的矩阵C = AB
C中的每一个元素$C_{ij}$ 等于A的第i行对应的矢量 和 B的第j列对应的矢量进行矢量点乘的结果：
$c_{ij}$ = $a_{i1}{b}_{1j}$ + $a_{i2}{b}_{2j}$ + ··· + $a_{in}{b}_{nj}$ = $\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$

矩阵乘法的一些性质：
1. 性质一：矩阵乘法并不满足交换律：AB $\ne$ BA
2. 性质二：矩阵乘法满足结合律： (AB)C = A(BC)

三： 特殊的矩阵

1. 方块矩阵

方块矩阵（square matrix）简称方阵，指行数和列数相等的矩阵。在三维渲染中，最常用的就是3X3和4X4的方阵。
对角元素（diagonal elements），方阵的对角元素指的是行号和列号相等的元素，如$m_{11}$, $m_{22}$等。
对角矩阵（diagonal matrix），除了对角元素外的所有元素都为0。如：
$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right]$

2. 单位矩阵

单位矩阵（identity matrix）, 是一个特殊的对角矩阵。用$I_n$来表示，如：
$I_n$ = $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

任何矩阵和它相乘的结果还是原来的矩阵：MI = IM = M

3. 转置矩阵

转置矩阵（transposed matrix）, 是对原矩阵的一种运算，即转置运算。
一个rXc的矩阵M，它的转置可以表示成一个cXr的矩阵$M^T$

转置矩阵的计算非常简单，只需把原矩阵翻转一下即可：
$M_{ij}^T$ = $M_{ji}$
示例：${\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\end{array}\right]}^T$ = $\left[\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& 6\\ 3& 7\\ 4& 8\end{array}\right]$

我们可以使用转置操作来转换行矩阵和列矩阵。

转置矩阵的一些常用性质：
1. 性质一： 矩阵转置的转置等于原矩阵，$(M^T{)}^T$ = M
2. 性质二：矩阵串接的转置等于反向串接各个矩阵的转置，$(AB{)}^T$ = $B^T{A}^T$

4. 逆矩阵

逆矩阵的前提：必须是一个方阵。
一个方阵M，它的逆矩阵用$M^{-1}$来表示。

逆矩阵最重要的性质就是，把M和$M^{-1}$相乘，结果会是一个单位矩阵。即，M$M^{-1}$ = $M^{-1}$M = I

并非所有的方阵都有对应的逆矩阵，例如，一个所有元素都为0的矩阵，任何矩阵和它相乘都会得到一个零矩阵，即所有元素都为零。

如果一个矩阵有对应的逆矩阵，那么这个矩阵就是可逆的（invertible）或者说是非奇异的（nonsingular）;
相反，如果一个矩阵没有对应的逆矩阵，那么这个矩阵就是不可逆的（noninvertible）或者说是奇异的（singular）。

如何判断一个矩阵是否是可逆的？
简单来说，如果一个矩阵的行列式(determinant)不为0，那么它就是可逆的。
我们通常可以通过调用第三方库（如C++数学库Eigen）来直接求得这些矩阵。

逆矩阵的一些重要性质：
1. 性质一：逆矩阵的逆矩阵是原矩阵本身。$(M^{-1}{)}^{-1}$ = M
2. 性质二：单位矩阵的逆矩阵是它本身。$I^{-1}$ = I
3. 性质三：转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置，$(M^T{)}^{-1}$ = $(M^{-1}{)}^T$
4. 性质四：矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向串接各个矩阵的逆矩阵。$(AB{)}^{-1}$ = $B^{-1}{A}^{-1}$

逆矩阵的几何意义：
一个矩阵可以表示一个变换，而逆矩阵允许我们还原这个变换，或者说是计算这个变换的反向变换。
$M^{-1}(Mv)$ = $(M^{-1}M)$v = Iv = v

5. 正交矩阵（orthogonal matrix）

正交是矩阵的一种属性。如果一个方阵M和它的转置矩阵的乘积是单位矩阵的话，我们就说这个矩阵是正交的。 $M{M}^T$ = $M^{T}M$ = I

上面的公式和前面讲的逆矩阵的公式很像：M$M^{-1}$ = $M^{-1}$M = I

由此得到一个重要的性质：如果一个矩阵是正交的，那么它的转置矩阵和逆矩阵是一样的，即$M^T$ = $M^{-1}$

在三维变换中我们经常需要使用逆矩阵来求解反向的变换。然而逆矩阵的求解往往计算量很大，但转置矩阵却非常容易求得，我们只需把矩阵翻转一下就可以了。

那么，如何判断一个矩阵是正交矩阵呢？
下面是3X3正交矩阵，根据正交矩阵的定义，如下：
$M^{T}M$ = $\left[\begin{array}{ccc}-& c_1& -\\ -& c_2& -\\ -& c_3& -\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}-& -& -\\ c_1& c_2& c_3\\ -& -& -\end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ccc}{c}_1{c}_1& c_1{c}_2& c_1{c}_3\\ c_2{c}_1& c_2{c}_2& c_2{c}_3\\ c_3{c}_1& c_3{c}_2& c_3{c}_3\end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ = I

通过上述得出结论：

1. 矩阵的每一行，即$c_1$、$c_2$、$c_3$是单位矢量，只有这样它们与自己的点积才能是1。
2. 矩阵的每一行，即$c_1$、$c_2$、$c_3$之间相互垂直，只有这样它们之间的点积才能是0。
3. 上述的两条结论对矩阵的每一列同样适用，因为如果M是正交矩阵，那么$M^T$也会是正交矩阵。

一组标准正交基可以精确的满足上述条件。
在三维笛卡尔坐标系中，三个坐标轴之间相互垂直，我们称这样的基矢量为正交基（orthogonal basis）。如果它们的长度都是1的话，我们称它们是一组标准正交基(orthonormal basis)。
所以，一个正交矩阵的行和列之间分别构成了一组标准正交基。

四： 使用行矩阵还是列矩阵

在和矩阵相乘时选择行矩阵还是列矩阵来表示矢量是非常重要的，因为这决定了矩阵乘法的书写次序和结果值。
在Unity中，常规做法是把矢量放在矩阵的右侧，即把矢量转换成列矩阵来进行运算。
这意味着，矩阵乘法通常是右乘：CBAv = (C(B(Av)))
我们的阅读顺序是从右到左。
等价于：$v{A}^T{B}^T{C}^T$ = $(((v{A}^T)B^T)C^T)$