【数据结构】知识点总复习
第一章 绪论
本章重点：数据结构相关名词术语的含义。难点：时间复杂度的估算。
数据：是客观事物的符号表示。能被输入到计算机中被程序处理的符号的总称。
数据元素：也称顶点，结点或记录。数据的基本单位。
数据项：最小单位。
数据对象：性质相同的数据元素集合。
数据结构：带结构的相同性质数据元素集合。结构是一种或多种关系。
以上不知道怎么背，随便过过吧。
逻辑结构=数据元素+关系。
四类基本结构：
- 线性结构：一对一，如线性表，栈和队列，字符串，数组，广义表
- 树结构：一对多
- 图/网状结构：多对多
- 集合结构。
后三个是非线性结构。（即四类中除了线性结构的）
两种存储结构：顺序存储（数组），链式存储（结构体和指针）。
差别：
顺序存储：相邻位置表示元素逻辑关系。
链式存储：指针信息表示元素逻辑关系。
算法：
五特性：有穷，确定，可行，输入，输出。
优劣标准：正确性，可读性，健壮性，高效性。
时间复杂度：一般是最深层循环内的语句频度。
两个没什么用的表：（？）
第二章 线性表
重难点：顺序表和链表。
概念：非空的线性表或线性结构是一个有限数据元素的有序集合。
特点：存在唯一一个第一个，最后一个数据元素；每个数据元素只有一个前驱（除第一个）和后继（除最后一个）。
存储：连续地址。是随机存储结构。
线性表
线性表的一些操作：
GetElem:
i是位置。注意特判范围。第1个存在0号位，故取值要i-1；
if(i<1||i>=L.length) return ERROR;
e=L.elem[i-1];
LocateElem:存在就返回位序，不存在就返回0；
地址从0开始，位序从1开始。故return i+1;
for(int i=0;i<L.length;i++)
{
if(L.elem[i]==e) return i+1;
}
return 0;
线性表查找的算法时间效率：(n+1)/2;
InSert操作：
i的合法范围：1~L.length+1;
还要判断线性表是否满了：
if(L.length==MAXSIZE) return 0;
线性表插入移动的期望值：n/2;
Delete操作：
判断范围：i的合法范围：1~L.length；
if(i<1||i>L.length) return 0;
线性表删除移动的期望值：(n-1)/2;
| 线性表操作 | 移动期望值 |
|---|---|
| 查找 | (n+1)/2 |
| 插入 | n/2 |
| 删除 | (n-1)/2 |
链表
特点：结点位置任意，逻辑上相邻元素在物理上不一定相邻。
是顺序存取的结构。
这里的单链表都是带头结点的。
尾插法：
循环链表：
最后一个结点的指针域又指回头结点的链表。
双向链表：
插入删除都可以画这种图，就很容易知道指针的赋值变化了。
单链表总结和与线性表的比较
第三章 栈和队列
栈Stack，先进后出（像是电梯了），插入删除的一端为栈顶Top，另一端为底Bottom；
顺序栈
是利用顺序存储结构实现的栈，指针top指示栈顶在顺序栈的位置。
base为存储空间基地址，S.top-S.base 是栈中元素的个数，类似Length。
栈为空时：S.topS.base;
栈满时：S.top-S.baseMAXSIZE;
顺序栈，top在最高元素的上一个，base位置是最低元素，故取栈顶元素要取top-1的：
链栈
**没必要加头结点。**栈顶指针就是链表头指针。
关于阶乘的递归
队列
先进先出。头是front,尾是rear；
在非空队列中，头指针始终指向队头元素的位置（实位以在），尾指针指向队尾元素的下一个元素（虚位以待）。
队列为空时：Q.frontQ.rear;
初始化时都为0；
加入一个元素，Q.rear++;删去一个元素时，Q.front++;
队长：Q.rear-Q.front;
存在假上溢现象。
(Q.base是基地址)
循环队列
队长：(Q.rear-Q.front+MAXSIZE)%MAXSIZE;
队满：Q.front(Q.rear+1)%MAXSIZE;
循环队列入队更新方式：
if((Q.rear+1)%MAXSIZE==Q.front) return ERROE;//满
Q.base[Q.rear]=e;//因为是虚位以待的
Q.rear=(Q.rear+1)%MAXSIZE;
出队：
if(Q.rear==Q.front) return ERROR;//空
e=Q.base[Q.front];
Q.front=(Q.front+1)%MAXSIZE;
第五章 树和二叉树
重点：二叉树的遍历及其应用。
不特别说明，讨论的都是无序树。
树的层数：如图，4层。
二叉树
五种基本形态：
二叉树的五个性质
1、在二叉树第i层上至多有2^(i-1)个结点；
2、深度为k的二叉树上至多含2^k-1个结点；
3、对任何一颗二叉树，若他有a个叶子节点，b个度为2的结点，则a=b+1;
（即，叶子结点=2的结点+1；）
4、有n个结点的完全二叉树的深度为log2n+1；
其中除了3都可以画图简单验证，5感觉是废话
遍历二叉树
遍历：对数据结构中的每个元素都访问一次且只访问一次。
遍历的四种方法：
层次遍历：从上到下，从左到右
ABECFDGHK
以下三个演示来自：数据结构——二叉树先序、中序、后序及层次四种遍历（C语言版）
先序遍历：根->左->右
中序遍历：左->根->右
树上的结点都掉下来了
后序遍历：左->右->根
重要结论
若二叉树中的各结点的值均不同，则任意一颗二叉树的先、中、后序序列是唯一的。
先+中 或 后+中 可以唯一确定二叉树。
哈夫曼树
最优树，一类带权路径长度的最短树。
从这里学习WPL的计算方法：权值*路径长度（或者说这一层的层数） 之和。
易得：大的要近，小的要远，这样WPL就会最小。
一个哈夫曼树的生成：
W={5,6,2,7,9};
先排序：W={2,5,6,7,9};
W={6,7,7,9};
W={7,13,9};
编码的两种形式
等长：易于译码。但长度长。
不等长：不易于译码，但长度短。
哈夫曼树是不等长的二进制编码，也是最优前缀编码。
如：
W={43,14,29,14};
左0右1：
哈夫曼编码树中，若叶子结点个数为n，则总结点为2n-1。
第六章 图
重点：图的两种存储结构和构造算法，不同存储结构的特点和使用场合。
图的两种遍历算法：DFS，BFS。
图分为有向图和无向图。
有向完全图：n(n-1)
无向完全图：n(n-1)/2
稀疏图：边的个数小于nlog2n;
度：出度+入度（有向图）；
简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。
简单回路：除第一个和最后一个相同，其他不重复。
连通图：任意两个顶点之间联通。
强连通图：有向图中任意两个顶点之间都存在一条有向路径。
否则，它的各个极大强连通子图称为它的强连通分量。
邻接矩阵
无向图的邻接矩阵为对称矩阵；
其实就是在有边的地方放1：
特点：
- 无向图的邻接矩阵对称，可压缩存储。这样，n个顶点的无向图需要的存储空间为n(n+1)/2;
- 便于计算各个顶点的度。顶点i的度为第i行元素为1的个数。
有向图的邻接矩阵：也是有边的地方1
特点：
- n个顶点需要存储空间为n^2;
- 便于计算各顶点的度：第i行1的个数是i的出度；列——入度。
网的邻接矩阵
有边就放权值，否则为无穷大。
邻接矩阵的缺点
- 不便于增删结点
- 不便于统计边的数目，要扫描整个矩阵，时间复杂度为O(n^2)
- 对稀疏图很浪费空间
邻接表
连接的是出度，一般（地址）从小到大。
无向图：
特点：
- 无向图中，每条边在邻接表中出现2次
- 空间复杂度O(n+2e)，若是稀疏图，省空间
- 不唯一，因为链入顺序任意
- i的度为第i单链表中的结点数
有向图：
特点：
- 有向图中，一条弧在邻接表只出现一次；
- 空间复杂度O(n+e)
- i的度为第i单链表中的结点数
逆邻接表
连的是入度。
画网络
| 地址 | 权值 | 下一个指针 |
|---|
邻接表特点
- 便于增删
- 便于统计边的数目，扫描整个表即可，时间复杂度O(n+e)
- 不便于判断顶点之间是否有边
- 不便于计算各个顶点的度
- 通常，稠密图——邻接矩阵；稀疏图——邻接表
图的遍历：DFS和BFS
DFS：
访问顶点，若它的邻接点未被访问，则从它出发进行深搜：
求DFS：
别拉太下，答案要出来啦！
效率分析：
邻接矩阵O(n^2);适合稠密图。
邻接表O(n+e);稀疏图。
BFS：
用队列实现的一层层的，广度优先搜索。
从V0出发，依次访问V0的所有未被访问的邻接点，之后按它们被访问的先后次序访问它们的邻接点。
例题：
注意这里67都是3后的！
14325
效率分析：
邻接矩阵O(n^2);
邻接表O(n+e);
DFS VS BFS
- 空间复杂度相同，O(n)；
- 时间复杂度与存储结构（邻接矩阵/邻接表）有关，与路径无关。
最小生成树
prim算法：
取图中任意一个顶点作为生成树的根，之后往生成树上添加新顶点w。在添加的顶点w和已经在生成树上的顶点v之间必定存在一条边，且该边的权值在所有连通vw的边中最小。
称为加点法。
克鲁斯卡尔算法：
为了使生成树上的边的权值之和达到最小，则应使生成树中的每一条边的权值尽可能地小。
从最小的边开始。给边排序，从小到大，找每一个没放入的点存在的最短边放入即可。
如：
两种算法的比较：
记法：克鲁斯卡尔是后学的，所以肯定时间更快…
最短路径：迪杰斯特拉
按照各条最短路径长度递增的次序产生最短路径。
图解
所以一开始的点是随便选的（源点），算出的路径是目标点到源点的距离
时间复杂度是O(n^2);
第七章 查找
重难点：
- 顺序表或有序表表示静态查找表时的查找方法、二叉排序树的查找方法。
- 二叉排序树的查找方法、散列表的查找方法
- 各种表示方法的适用点和适用场合。
查找表：由同一类型的记录构成的集合。
- 静态查找表：查询或检索
- 动态查找表：查询、检索、插入或删除
关键字：用以标识一个记录。可识别唯一记录的是主关键字。
如身份证号是主关键字，姓名是次关键字。
线性表的查找
- 顺序查找
- 折半查找
顺序查找：从头找
int Search(int a[],int e)
{
for(int i=1;i<=length;i++)
{
if(a[i]==e) return i;
}
return 0;
}
优化过后的从尾巴找：0号位是要查找的数，如果return 0那就是没找到了。
int Search_(int a[],int e)
{
a[0]=e;
for(int i=length;a[i]!=e;i--){}
return i;
}
时间复杂度O(n);
平均查找长度：(n+1)/2;
折半查找
就是二分。线性表要有序且有限。
跳出循环的条件是：找到了（a[mid]==e）或范围缩小到0也没找到.故循环条件是while**(l<=r)**；
//范围从1~n；假设是从小到大排列
int l=1,r=n,mid=(l+r)/2;
while(l<=r)
{
if(a[mid]==e) return mid;
else if(a[mid]>e) r=mid-1;
else l=mid+1;
mid=(l+r)/2;
}
折半查找的判定树深度和含有n个结点的完全二叉树深度相同。
平均查找长度和时间复杂度：
树表的查找：二叉排序树
特性：若左子树不空，则左子树上所有结点小于根节点；右子树上所有结点大于根节点；
二叉排序树的插入算法：
- 查找不成功时进行。
- 若二叉排序树为空树，则新插入的结点为新的根节点；否则为新叶子结点。
插入算法时间复杂度O(log2n);
二叉排序树创建算法：
第一个就是根，之后小在左，大在右
算法时间复杂度O(nlog2n);
二叉排序树删除算法：
- 删叶子结点
- 删只有左/右的根节点
- 删既有左又有右的根节点
好像不太重要，因为搜不到复习资料，别问我原理我也不知道skr
二叉排序树的查找
平均查找长度与树的形态有关。
最好log2n;(很对称的)
最坏(n+1)/2;
散列表的查找
散列表：就是哈希表~~，好像也是stl的map~~
查找的效率：取决于给定值进行比较的关键字个数。
平均查找长度：关于关键字个数的函数，不为0且随n增大而增大。
（很好理解，因为n变多，冲突就多了）
散列函数和散列地址：位置p和关键字key满足p=H（key），H——函数，p——地址。
冲突与同义词：
存在key1!=key2&&H(key1)==H(key2)，
即关键字不同地址相同，这样就产生了冲突。
这两个关键字叫做同义词
对数字的关键字的构造方法：
- 数字分析法
- 平方取中法
- 折叠法
- 除留余数法
数字分析法
事先知道关键字集合，且关键字位数相同。从中提取分布均匀的若干位或它们的组合作为散列表的地址。
123号位分布不均匀，4567分布均匀。
平方取中法
若关键字的所有各位分布都不均匀，则可取关键字的平方值中间的若干位做散列表的地址。
取平方的目的是扩大差别。
折叠法
关键字位数特别多，难直接从关键字中找到取值分散的几位。
方法：移位叠加，边界叠加。
除留余数法
假设表长m，选择一个p使p<=m，且p为素数或p不含20以下的质因子。
余数是：
H(key)=key%p;
p是小于表长，不要混成小于关键字
实际造表时，采用何种构造散列函数的方法通常考虑：
- 散列表长度
- 关键字长度
- 关键字分布情况
- 计算散列函数需要的时间
- 记录的查找频率
总原则：使发生冲突可能性最低
处理冲突的方法
翻译：为产生冲突的地址寻找下一个散列地址
- 开放地址法
- 链地址法
开放地址法：
若产生冲突就按某种方式寻找下一个地址。
下一个地址的散列公式：Hi(key)=(H(key)+di)%m;
三种方法：
线性探测、二次探测、伪随机探测。
线性探测：冲突的地方+1，+2，+3…+m-1；
优点：只要散列表没满，保证能找到空位置存放。
缺点：会发生二次聚集（堆积）现象。如+1后把原本在+1的位置占了，+1的只能到+2了。
二次：+1，-1，+4，-4，+9，-9…
二次和伪随机的优点：避免二次聚集。缺点：不一定能找到不发生冲突的地址。
链地址法：
看图就知道了
优点：
无聚集现象；适合表长不确定的情况。
解决散列表查找的ASL平均查找长度的因素：
- 选用的散列函数
- 处理冲突的方法
- 饱和程度，即装填因子：α=记录数/表长度
装填因子越大，装的越满，冲突可能性越大，ASL越大。
假设散列函数是均匀的，则ASL只取决于解决冲突的方法和装填因子。
开放地址法的装填因子必<1，不能接近1，大概在0.75；
链地址的装填因子可>1;
总结
散列表的ASL是α的函数。
用散列表查找时，不管n多大，总可以选择适当的α使ASL在某范围内。
第八章 排序
重点：
快速排序，堆排序，归并排序。
内部排序是一个逐步扩大记录有序序列长度的过程。
排序算法效率评论指标：
- 时间效率（比较与移动次数）
- 空间效率（辅助空间的大小）
- 稳定性（AB关键字相等，排序后AB的次序不变则稳定）
直接插入排序
是插入类排序。
步骤：
- 在r[1…r-1]中顺序查找r[i]的插入位置使r[i…j].key<=r[i].key<=r[j+1…i+1].key
- 将r[j+1…i+1]中所有记录向后移
- 将r[i]插入（复制）到r[j+1]的位置上
有序的范围：1到r-1，r是待插入的
时间复杂度O(n^2);
空间复杂度O(1);
是稳定排序，适用于链式，更适用于基本有序的情况。
无序且n大时不适合。
冒泡排序
是交换类。
动图源自：这里
大致的循环：是1和2比，再2和3，3和4…每一趟确定的是最大的。
for(int i=1;i<=n-1;i++)
for(int j=i;j<=n-1;j++)
{
//j和j+1的比较
}
特点：
稳定，可用于链式，移动次数多。
第一趟确定最大的，第二趟确定第二大的…以此类推，大泡泡会沉底
快速排序
交换类。
动图来自：这里：以下动图均来自这里
如：
枢纽是：49—27—76；
逻辑大概是：第一次枢纽是第一个数，第二次是第一堆的第一个数，第三次是第二堆的第一个数
简述：枢纽暂放杂r[0]中，比枢纽小的移到枢纽前，大的后。
做了个小视频，是上面例子的快排示范，但是放不下orz
快排时间复杂度O(nlog2n)
空间复杂度：最好O(log2n),最坏O(n)
不稳定。要用在顺序结构。适合记录无序，n较大的情况。
简单选择排序
选择类，即选出一个关键字最大/小的记录，并移到法定位置。
例子：
这里选的是无序中最小的放入有序中。
时间复杂度O(n^2);
空间复杂度O(1);
不稳定。可顺序可链式结构。
移动记录次数较少，比直接插入快。
堆排序
堆排序是利用堆的特性对记录序列进行调整堆的排序方法。
动图：
时间复杂度O(nlog2n);
空间复杂度O(1);
不稳定。只可顺序。
适用于n较大或TOPN问题。
归并排序
将两个或以上有序子序列归并为一个有序序列。
代码：若要从小到大：小的就往下放并移动指针，直到有一条到结尾，另一条直接接上：
举个例子：两两比较！
时间复杂度：O(nlog2n)
空间复杂度：O(n);
稳定，可链式。
要额外空间！
排序的综合比较
选择何种排序方式考虑原则：
- 待排记录个数n
- 记录本身大小
- 关键字分布情况
- 稳定性要求
红框框要考。
