编译原理——First集与Follow集

求解first集与follow集

通过作业题目例子来体会。

题目

(0) E -> TE'
(1) E'-> +TE' | ε
(2) T -> FT'
(3) T'-> *FT' | ε
(4) F -> (E) | id

1. First 集

First（A）为A的开始符或者首符号集。

意义

如果两个A产生式 A -> α | β，且FIRST(α)和FIRST(β)不相交；

下一个输入符号是x，若x∈FIRST(α)，则选择A->a，若x∈FIRST(β)，则选择A->b。

算法

计算FIRST(X)的方法

• 如果 X 是终结符号，那么FIRST(X)={X}
• 如果 X 是非终结符号，且 X -> Y₁Y₂Y₃…Y_k 是产生式
  • 如果a在FIRST(Y_i)中，且 ε 在FIRST(Y₁)，FIRST(Y₂)，…，FIRST(Y_i-1)中，那么a也在FIRST(X)中；
  • 如果ε 在FIRST(Y₁)，FIRST(Y₂)，…，FIRST(Y_k)中，那么ε在FIRST(X)中；
• 如果X是非终结符号，且有X->ε，那么ε在FIRST(X)中

解题

如果算法看不懂，那我们来根据算法来模拟一下！

因为求FIRST集合如果有终结符号会比较好处理，所以我们逆顺序进行实施；

• F -> (E) | id，可以推出 First(F)={ ( , id }
• T -> FT' ，可以推出 First(T)=First(F)={ ( , id }
• T'-> *FT' | ε ，可以推出 First(T')={ * , ε }
• E'-> +TE' | ε，可以推出 First(E')={ + , ε }
• E -> TE'，可以推出 First(E)=First(T)={ ( , id }

应该一看明白了！

2. Follow集

Follow(A)指的是在某些句型中紧跟在A右边的终结符号的集合

算法

• 将右端结束标记 $ 放到 FOLLOW(S) 中
• 按照下面两个规则不断迭代，知道所有的FOLLOW集合都不再增长为止
  • 如果存在产生式A -> αBβ ，那么 FIRST(β)中所有非ε的符号都在FOLLOW(B)中；
  • 如果存在产生式A -> αB，或者A -> αBβ 且FIRST(β)包含ε，那么FOLLOW(A)中的所有符号都加入到FOLLOW(B)中

解题

一步一步来看

1. 首先将结束标志$ 加入到FOLLOW(E)中FOLOOW(E)={ $ }；
2. 根据规则进行迭代

2.1 第一次迭代

• E -> TE'

第一种情况：FOLLOW(T)=FIRST(E')={ + }

第二种情况：FOLLOW(E')=FOLLOW(E)={ $ }

• E'-> +TE' | ε

第一种情况：FOLLOW(T)=FIRST(E')={ + }

第二种情况：FOLLOW(T)=FOLLOW(E')={ + , $ }

• T -> FT'

第一种情况：FOLLOW(F)=FIRST(T')={ * }

第二种情况：FOLLOW(T')=FOLLOW(T)={ + , $ }

• T'-> *FT' | ε

第一种情况：FOLLOW(F)=FIRST(T')={ * }

第二种情况：FOLLOW(F)=FOLLOW(T')={ + , * , $ }

• F -> (E) | id

第一种情况：FOLLOW(E)={ $ , ) }

2.2 第二次迭代

由于我们列出了等值关系，所以只需要再走一次第一次迭代的过程就可以了！

因为主要是FOLLOW可能在变，所以我们只需要找到FOLLOW的等值关系即可

我在上面标出了第一次迭代的FOLLOW的最新版

下面我只要列出更新的即可

1. FOLLOW(E')=FOLLOW(E)={ $ , ) }
2. FOLLOW(T)=FOLLOW(E')={ $ , ) , + }
3. FOLLOW(T')=FOLLOW(T)={ $ , ) , + }
4. FOLLOW(F)=FOLLOW(T')={ $ , + , ) , * }
5. FOLLOW(E)={ $ , ) }

2.3 第三次迭代

第三次迭代就会发现FOLLOW集合不再发生改变，这时候规则结束，求出FOLLOW集合。

总结

Follow比较容易出错，出错的点主要在迭代过程的第二种情况的：A -> αBβ 且FIRST(β)包含ε

我们容易忽略这种情况。

只要把每一次迭代过程都写在纸上，尤其注重Follow集合的等值！