《程序员面试金典（第6版）》面试题 04.05. 合法二叉搜索树

题目描述

实现一个函数，检查一棵二叉树是否为二叉搜索树。

示例 1:
输入:

    2
   / \
  1   3

输出: true

示例 2:
输入:

    5
   / \
  1   4
     / \
    3   6

输出: false
解释: 输入为: [5,1,4,null,null,3,6]。
根节点的值为 5 ，但是其右子节点值为 4 。

解题思路与代码

使用额外数据结构 + 中序遍历

这应该是最简单，并且最容易理解的一种做法了。
由二叉搜索树的性质可知，二叉搜索树的左边节点小于中间节点，中间节点小于右边节点。由这一特性我们可以得知，二叉搜索树的中序遍历是一个有序的数组。

我们只需要检查这个数组是否有序，就能判断出这个二叉树是否是二叉搜索树。

具体实现请看代码：

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    bool isValidBST(TreeNode* root) {
        vector<int> result;
        inorderTraversal(root,result);
        int size = result.size();
        for(int i = 1; i < size; ++i )
            if(result[i-1] >= result[i]) return false;
        return true;
    }
    
    void inorderTraversal(TreeNode* root,vector<int>& vec){
        if(root == nullptr) return ;
        inorderTraversal(root->left,vec);
        vec.push_back(root->val);
        inorderTraversal(root->right,vec);
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，n是这个二叉树的节点数目。我们要遍历这个二叉树的每一个节点。
空间复杂度：O(n)，n是这个二叉树的节点数目，我们要将n个元素压入vector中。此外，函数的递归调用会使用一定的系统栈空间，但是由于递归深度不会超过二叉树的高度，所以可以认为空间复杂度也是 O(n) 级别的。

中序遍历不使用额外数据结构

这种做法，就是稍稍的将我刚刚的那种做法升级了一下，我们使用一个前驱指针，去记录中序遍历的前一个节点。那么中序遍历是先遍历左子树然后遍历中间节点，再去遍历右子树的。所以我们只需要一直去判断，这个前驱指针的值是否一种小于中间节点的值就行了。

具体实现请看代码：

class Solution {
public:
    TreeNode* pre = nullptr;
    bool isValidBST(TreeNode* root) {
        if(root == nullptr) return true;
        
        if(!isValidBST(root->left)) return false;

        if(pre != nullptr && pre->val >= root->val) return false;
        pre = root;

        if(!isValidBST(root->right)) return false;
        return true;
        
    }
};

注意：这个代码中不太容易想出来的代码在于这一行：if(!isValidBST(root->left)) return false; 我们的递归逻辑是在这个if判断里面的。这个递归就会把我们一直带到左叶子节点。然后再逐层的返回判断。

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)，n为节点的个数。不管怎样我们都要遍历这个树中的所有节点。
空间复杂度：O(h)，其中 h 是二叉树的高度。最坏情况下（即二叉树退化为链表时），递归调用深度达到 n，此时栈的空间复杂度为 O(n)；平均情况下树的高度是 log n，空间复杂度是 O(log n)。

这个代码优化了空间复杂度，因为没有用到额外的数据结构。但是执行代码所需要的时间缺增加了。这是因为我们每次递归都要做许多的判断。而上一次的代码只需要在for循环里做少量判断就行了。

总结

这道题不算太难。只要能及时的想起二叉搜索树的性质，就能轻松解题。