机械动力学（一）：刚体动力学

前言

机械动力学系列文章，初衷是整理研究生课程《机械动力学》主干知识。每篇文章最前会给出本部分在国内的课程名称，以及所需要的前修知识。

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刚体动力学

对于刚体动力学，本部分的讲授内容实际为理论力学（二）：刚体的一般运动（三维运动）。因此，学习这部分所需的前修课程有：理论力学（质点运动、刚体的平面运动）、矢量分析基础。

本部分的具体可以参考：Hibbeler R C. Engineering Mechanics: Dynamics (12th) (Chap.20 21)

刚体运动的分类

从运动维度来分，刚体可分为平面运动（二维）和一般运动（三维）。平面运动内有平动和定轴转动两种特殊形式，组合在一起即为平面运动。而对于一般运动，有一些特殊的一般运动比如定点运动（陀螺）等。因此，如何用物理方程描述这些运动，便是后续讨论的内容。

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刚体的一般运动：运动学分析

描述刚体一般运动的坐标系（以平面为例）

：全局坐标系，固定坐标系。以下简称定系。
：局部坐标系，旋转坐标系。以下简称动系。

位置关系：

上式对时间求导，可得到速度关系：。对于旋转矢量（在全局固定坐标系下与局部动坐标系固结，随着动系旋转），求旋转矢量对时间的导数，可以使用如下公式计算：

平面中理解即为绝对速度=相对速度（相对导数）+牵连速度。稍加整理，便可以得到速度关系：

继续对时间求导，注意旋转矢量对时间求导的计算，即可得到加速度关系：

平面中理解即为绝对加速度=牵连加速度（切向+法向）+科氏加速度+相对加速度。

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刚体的一般运动：动力学方程

对于平面运动的动力学方程具体形式这里不再展开叙述。

经典力学中，最基本的动力学方程为：
第一式为牛顿方程，可以在直角坐标，极坐标，自然坐标系下列出投影式。
第二式为欧拉方程，上式为针对固定点的欧拉方程。若对刚体的质心列欧拉方程，形式上与固定点的欧拉方程类似（推导略过）：
欧拉方程中为刚体的角动量（动量矩）：

• 对固定点的角动量：
• 对质心的角动量：
• 对任意点的角动量：

欧拉方程中，，然而其具体形式依然不是很清楚，需要继续推导。显然这里是旋转矢量对时间求导，因此有：

其中，为与刚体固结的坐标系，表示在动坐标系内求相对导数。在这里和分别表示刚体转动角速度和局部（动）坐标系的角速度。但是实际运用过程中一般将动系与刚体固结，即。
下面具体讨论和大小关系不同时，欧拉方程的具体形式：

1. 
   刚体做平面运动，方程退化为：，不在讨论。其中为转动惯量（质量主惯性矩）。
2. 
   这是最常用的情形：动系与刚体固结。当动系的原点为固定点或质心时，角动量对时间求导出现的质量惯性积为0，即：
   
   欧拉方程为：
   
3. 
   不常用，有需要再展开叙述。

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分析方法： 运动学

建系

• 建立定系、动系一般固结在刚体上，即。

运动分析

• 列出动点、定点的速度、加速度关系式，计算所需要的物理量：
  
  
• ，则。
• 入手，一般用动系的基底表示比较方便。注意旋转矢量对时间的求导计算。
• 同理。
• 对应分量相等，即可求解出未知量。

分析方法：动力学

受力分析

• 画实例分析图，建立定系、动系一般固结在刚体上，即。
• 计算刚体对其旋转轴（动系轴）的质量惯性积。

运动学分析

• 对于，有

列动力学方程

• 6个方程6个未知数，即可求解。