平衡二叉树(AVL)

1 平衡二叉树定义

平衡二叉排序树(Balanced Binary Tree)是在1962年由Adelson-Velskii和Landis提出的，又称AVL树。
平衡二叉树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉排序树:它的左子树和右子树 都是平衡二叉树，且左子树和右子树高度之差的绝对值不超过 1。
二叉树上结点的左子树的深度减去其右子树深度称为该结点的平衡因子。因此，平衡二叉树上每个结点的平衡因子只可能是-1、0 和 1，否则，只要有一个结点的平衡因子的绝对值大于 1， 该二叉树就不是平衡二叉树。

结点类型定义如下:

typedef struct BNode {
    KeyType key;//关键字域
    int Bfactor;//平衡因子域
                //其它数据域
    struct BNode *lChild, *rChild;
} BSTNode;

在平衡二叉排序树上查找的平均查找长度和

2 平衡化旋转

如果在一棵平衡二叉树中插入一个新结点，造成了不平衡，必须调整树的结构，使之平衡化。
平衡化旋转有两类：
--单旋转(LL旋转和RR旋转)
--双旋转(LR旋转和RL旋转)

在插入一个新结点后，需要从插入位置沿通向根的路径回溯，检查各节点的平衡因子。如果在某一结点发现高度不平衡，停止回溯。从发生不平衡的结点起，沿刚才回溯的路径取直接下两层的结点。这三个结点就构成最小失衡子树。
最小失衡子树只可能有以下四种状态。

如果这三个结点处于一条直线上，则采用单旋转进行平衡化。单旋转可按其方向分为 LL 旋转和 RR 旋转。
如果这三个结点处于一条折线上，则采用双旋转进行平衡化。双旋转分为 LR 旋转和 RL 旋转两类。

左单旋转（RR单旋）：
在结点 a 的右孩子的右子树上进行插入x，使结点 a 失去平衡。要对a进行一次逆 时针旋转。用 b 取代 a 的位置，a 作为 b 的左子树的根结点，b 原来的左子树作为 a 的右子树。

右单旋转（LL单旋）
和左单旋转相反。在结点 a 的左孩子的左子树上进行插入，使结点 a 失去平衡。
对a进行顺时针旋转。用 b 取代 a 的位置，a 成为 b 的右子树的根结点，b 原来的右子树作为 a 的左子树。

LR双旋
先把45拉上去转变为LL单旋，再把50顺时针旋转。

RL双旋
先把55拉上去转变为RR单旋，再把50逆时针旋转。

3 算法

(1)AVL树的插入
算法从一棵空树开始，通过输入一系列元素关键字，逐步建立平衡二叉树。
在插入新结点后，需从插入结点沿通向根的路径向上回溯，如果发现有不平衡的结点，需从这个结点出发，使用平衡旋转方法进行平衡化处理。
①按照二叉排序树的定义，将结点 s 插入;
②在查找结点 s 的插入位置的过程中，记录离结点 s 最近且平衡因子不为 0 的结点 a，若该结点不存在，则结点 a 指向根结点;
③修改结点 a 到结点 s 路径上所有结点的平衡因子；
④判断是否产生不平衡，若不平衡，则确定旋转类型并做相应调整。

设要构造的平衡二叉树中各结点的值分别是(3, 14, 25, 81, 44)，平衡二叉树的构造过程

(2)AVL树的删除
1)如果被删结点 x 最多只有一个子女，可简单删除:将结点 x 从树中删去。因为结点 x 最多有一个子女，可以简单地把 x 的双亲中原来指向 x 的指针改指到这个子女结点;如果结 点 x 没有子女，x 双亲原来指向 x 的指针置为 NULL。将原来以结点 x 为根的子树的高度减 1。
2)如果被删结点 x 有两个子女:搜索 x 在中序次序下的直接前驱 y (同样可以找直接 后继)。把结点 y 的内容传送给结点 x，现在问题转移到删除结点 y。把结点 y 当作被删 结点 x。因为结点 y 最多有一个子女，可以简单地用 1. 给出的方法进行删除。
3)必须沿结点 x 通向根的路径反向追踪高度的变化对路径上各个结点的影响。