基于模型的推荐器所做的基本假设是，在我们试图预测的用户和商品的交互之间存在一些潜在的低维结构。换句话说，基于模型的推荐系统本质上是一种降维的方法。
简单来说，我们假设用户的意见，或者他们消费的物品的属性，可以被有效地总结为一些低维度的向量。你喜欢动作片吗？你喜欢高预算、特定演员或长时间运行的电影吗？ 基于模型的推荐的目标是找到这些问题的答案。
这似乎是一个困难的过程：我们不知道如何提取这些重要特征（即，我们不知道哪些电影是动作电影，哪些电影时间比较长）。但令人惊讶的是，没有它们，人们仍然可以发现有关这些特征的潜在的维度。作为示例，考虑如下所示的交互（例如点击）数据：
根据矩阵分解原理：
(5.2) 分解以后变成：
左边 是用户向量 用来表示用户1的特征； 右边 是商品向量, 用来表示商品1的特征。
我们分解矩阵的目的是，可以用更加低维的形式表示他们。 而且， 我们找到物品和用户之间的关系会很简单， 就是他们之间的点积。
我们利用 K维 这个隐向量来表示用户，用 表示物品。 但其实我们无法解释向量中每个元素的具体含义， 因为他们来自于纯粹的数学运算 （矩阵分解）。 不过在实际使用中， 他们真的很好用。
PS：人类的认知只能处理日常生活中遇到的特征， 无法理解的特征其实是大多数。
与奇异值分解( Singular Value Decomposition)的关系
我们讨论的矩阵分解，其实和 奇异值分解(SVD), 在 SVD 中 一个矩阵可以被分解成：
和 是矩阵 的左右奇异值（ 和 的特征向量）, 是一个对角矩阵。
重要的是，我们可以通过取 , 和 中的前 个特征向量/特征值（EckartYoung 定理）来找到描述 的最佳 值（就 MSE 而言）。虽然这似乎为我们提供了在方程（5.5）中选择最佳可能 和 的方法，但奇异值分解必须针对一个完整的矩阵（包括左右观察到的值）。 而不是像 R 中那样， 可以观察到部分的相互作用。即使这个问题可以解决（例如，通过缺失值的数据插补策略），但是在规模为数百万行和列的矩阵上计算 SVD 是不切实际的。因此，在实践中，我们不会计算特征向量和特征值，而是采用基于梯度的方法（如下所述）。然而，与 SVD 的联系为我们提供了关于 和 可能对应的因子类型的提示。
Fit Latent Factor Model 训练 LFM 模型
这里我们开始讨论如何训练我们的 Factor 模型。 所谓训练模型， 其实就是让和 尽可能好的去拟合用户和物品的交互数据， 让loss 值尽可能的小，也就是是均方误差（Mean Squared Error）：
其中, 这就是我们要寻找的函数, 是真实值。 正如上面讨论 SVD 时提到的，我们使用基于梯度下降来求解。
User and item biases
在介绍如何用梯度下降求解之前， 我们先介绍一些可以提高模型效果的方法。 尽管 看上去比较简单， 但是他缺少 regularizer 项， 我们可以给他们添加一个 regularizer ：
我们可以用 来调节这个惩罚项, 当 变大的时候 , 会趋向于 0, 对应的他们的乘积 也会趋向于0 , 整个系统得到的结果就会倾向于 underpredict。
为了解决这个问题， 我们有很多办法， 其中一个就是从数据中去除均值。我们可以把 公式 (5.5) 改写成 (依然保持regularizer 的情况下) ：
这种做法很像 linear regression 中， 我们使用的 bias 项，在下面， 我们都称之为 bias。
进一步的， 我们希望能够更加精确的单独去除 User 和 Item 的均值，我们可以在添加两个变量 , 得到
在加入这些 bias 以后，尤其是 , ， 在我们的模型中 就会多出来 和 项。 是否需要对他们进行 regulaze ， 目前还有争议。 一方面， 它们本事就是截距项， 一般不需要进行 regulaze ； 另外一方面，如果不对他们 regulaze ， 有可能导致 overfitting。 在目前的实践中， 我们可以简单的把他们纳入regularizer
利用上面的式子做 regularizer 的时候， 统一用 作为 的系数， 来调节惩罚强度。
也可以对 和 进行单独惩罚：
Gradient update equations 利用 Gradient 求解
针对方差 (5.10) [] , 我们希望 minimize 的目标 (基于用户和物品的交互 ) :
对 obj 的内容分布求偏导，可以得到如下等式：
对于未列出来的 ， 和上面 ， 类似。
作者这里突然开始用 , 我觉得其实就是 , 因为有k 个隐变量。 感觉作者在细节上不是很注意， 书写的有些跳跃。
关于使用梯度下降(gradient descent) 要注意的地方：
这里要求解的目标比较复杂， 需要注意一些细节：
等式 (5.14) 不是凸函数， 有很多局部最优点。但是算法设计的比较好， 它是比较容易到达全局最优点的。
如果 和 被初始化为相同的值，那么就会导致他们的梯度一致，进入 'lock step' 状态。 这个问题通常可以通过随机初始化解决。
使用 SGD （stochastic gradient descent ) 或者 （alternating least squares） 比计算 full gradient 更快, 也更加节省内存。 (1. Large-scale machine learning with stochastic gradient descent. 2010), (2. Scalable coordinate
descent approaches to parallel matrix factorization for recommender systems. 2012)
发生了什么？
考虑一下，在第 2 章中的回归模型和我们上面开发的基于模型的推荐系统之间，我们已经从完全依赖特征的模型转变为完全避免特征的模型。
对刚开始接触推荐系统的同学来说， 这有点让人吃惊：显然，这样一部电影的预算或类型的特征应该可以预测用户对它的偏好。然而，如果一个特征是可预测的，它就会被 或 捕获。它们会用低维向量最大可能的包含各种特征的信息，而无需显式测量该特征。因此，有人可能会说，如果我们观察到足够多的交互， 或 将捕获任何有用的用户和项目特征。
我们将在后面的章节中重新讨论这个论点，并探索各种例外情况，例如如果我们没有足够的交互数据（例如对于新用户或项目，如第 6.2 节），我们该怎么办，或者如果用户偏好或项目属性随着时间的推移而不稳定，我们应该怎么做（第 7 章）。