欧拉－拉格朗日方程

欧拉－拉格朗日方程 

欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 为变分法中的一条重要方程。它提供了求泛函的平稳值的一个方法。

设  ，以及  在  中连续，并设泛函第一方程

 。

若  使得泛函 J(y) 取得局部平稳值，则对于所有的  ，

 。

推广到多维的情况， 记

 ，

 ，

 。

若  使得泛函  取得局部平稳值，则在区间  内对于所有的  ，皆有

 。

第二方程

设  ，及  在  中连续，若  使得泛函  取得局部平稳值，则存在一常数 C ，使得

 。

例子

设  及  为直角坐标上的两个固定点，欲求连接两点之间的最短曲线。设  ，并且

 ；

这里， 为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为

 。

现设

 ，

 ，

取偏微分，则

 ，

 ，

f_x = f_y = 0 。

若 y 使得 L(y) 取得局部平稳值，则 y 符合第一方程：

 ，

 。

因此，

 ，

 。

随 t 积分，

 ，

 ；

这里， 为常数。重新编排，

 ，

 。

再积分，

x(t) = rt + r' ，

y(t) = st + s' 。

代入初始条件

 ，

 ；

即可解得  ，是连接两点的一条线段。

另经过其他的分析，可知此解为唯一解，并且该解使得 L(y) 取得极小值，所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。

参阅

• 拉格朗日方程式
• 变分法
• 作用量
• 哈密顿原理