度量张量

度量张量 

在黎曼几何里面，度量张量，物理学译为度规张量，是指一用来衡量度量空间中距离及角度的二阶张量。

当选定一个局域坐标系统xⁱ ，度量张量可以矩阵表示，记作为G或g。而g_ij记号传统地表示度量张量的协变分量(亦为“矩阵元素”)。以下我们用爱因斯坦求和约定来代表隐含的求和。

一小段弧线长度定义如下，其中参数定为t，t由a到b:

两个切向量的夹角θ,  和 ，定义为:

在欧几里得几何中，为流形光滑嵌入导入度量张量，由以下方程式计算得出:

G = J^TJ

J 表示崁入的雅可比矩阵，它的转置为 J^T

例子

欧几里德几何度量

二维欧几里德度量张量:

弧线长度转为熟悉微积分方程式:

在其他坐标系统的欧氏度量:

极坐标系: (x¹,x²) = (r,θ)

圆柱坐标系: (x¹,x²,x³) = (r,θ,z)

球坐标系: (x¹,x²,x³) = (r,ϕ,θ)

平面闵可夫斯基空间: 

在一些习惯中，与上面相反地，时间t 的度规分量取正号而空间 (x,y,z) 的度规分量取负号，故矩阵表示为：