外代数

 

外代数

在数学上，给定向量空间V的外代数(英文：exterior algebra)，也称格拉斯曼代数(Grassmann algebra)，是特定有单位的结合代数，它包含V为一个子空间。它记为 Λ(V) 或 Λ^•(V)而它的乘法，称为楔积或外积，记为∧。楔积是结合的和双线性的；其基本属性是它在V上交替：

，对于所有向量

这表示

，对于所有向量，以及

，当 线性相关时。

注意这三个性质只对 V 中向量成立，不对代数Λ(V)中所有向量成立。

外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。Λ(V)的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。

形式为v₁∧v₂∧…∧v_k的元素，其中v₁,…,v_k在V中，称为k-向量。所有k-向量生成的Λ(V)的子空间称为V的k-阶外幂记为Λ^k(V)。外代数可以写作每个k阶幂的直和：

该外积有一个重要性质，就是k-向量和l-向量的积是一个k+l-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由k给出。这些k-向量有几何上的解释：2-向量u∧v代表以u和v为边的带方向的平行四边形，而3-向量u∧v∧w代表带方向的平行六面体，其边为u, v, 和w。

外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。

 

定义及运算律

 

外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简捷的一个。

 

定义: 设 V 是域 K 上的一个向量空间，令 I 为 V 的张量代数

 

 

的理想（即双边理想），该理想是由所有形如  的张量生成的（其中  任意），则将 V 上的外代数 Λ(V) 定义为商代数 T(V) / I，即

 

Λ(V): = T(V) / I,

 

并且把  的等价类^[1]  记为 ，其中 . 设  称

 

Λ^k(V): = (T^kV) / I

 

为 V 的 k-阶外幂（kth exterior power of V），称 Λ^k(V) 中的元素为 k-向量（k-multivector）。

 

注：

 

1. ，当且仅当 λ = 0 时才有 ，因此，可以把 Λ⁰(V) = K / I 等同于 K，并且把  记为 λ；基于类似的原因，可以把 Λ¹(V) = V / I 等同于V，而且把  记为 v。这一点是前面所讲的能够把  记为  的特例和前提。

2. 当 k > 1 时，k-向量并不仅限于形如  的元素，例如， 也是 2-向量，其中 .

3. 理想 I 中的元素并不仅限于形如  的张量，例如，设 ，则 ，α 作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 ，可以把这个 k-阶的完全反对称张量等同于 α, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，k-向量就是以这种方式定义的。

   设 ，则 ，α 作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 ，可以把这个 k-阶的完全反对称张量等同于 α, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，k-向量就是以这种方式定义的。  设 ，则 ，α 作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 ，可以把这个 k-阶的完全反对称张量等同于 α, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，k-向量就是以这种方式定义的。
   1. , 必定有  和 .
   2. , 由于  和  以及 , 显然有 . 这就有一个推论：所有的二阶对称张量都在理想 I 中。
   3. 由于上面的两个结论，，我们有 , 这是因为等式右边的每一项都在 I 中。对张量 的阶数作数学归纳法，则可以证明：, ，总有 .
4. 设 ，则 ，α 作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 ，可以把这个 k-阶的完全反对称张量等同于 α, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，k-向量就是以这种方式定义的。

运算律 将上面的注中的内容用  写出，则分别给出

 

(1) , 

 

证明如下： 作为等价类，我们从  中任意挑选一个代表元 t，则  而且 α = [t]. 根据商代数的定义，

 

 

类似地，可以证明 

 

(2) 根据注 3.1 中的内容，显然有 .

 

(3) 根据注 3.2 中的内容，对任意  成立着

 

 

注：即使 K 的特征为 2，这个公式也是对的，只不过此时有 − 1 = 1 而已。

 

(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算  满足结合律和分配律：

 

 

其中  都是任意的。

 

以前两条性质为例，其证明如下：设张量  分别是 α,β,θ 中的代表元，即 α = [a], β = [b], θ = [t], 则

 

 

(5) 根据上面的 (3) 和 (4)，用数学归纳法可以证明：

 

 

证明从略。

 

基底和维数

 

若V的维数是n而{e₁,...,e_n}是V的基，则集合

 

 

是k阶外幂Λ^k(V)的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积

 

 

则每个向量v_j可以记为基向量e_i的一个线性组合;利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基k-向量前的系数可以用通过积e_i来描述v_j的矩阵的子式来计算。

 

数一下基元素，我们可以看到Λ^k(V) 的维数是n 取 k。特别的有， Λ^k(V) = {0} 对于 k > n.

 

外代数是一个分级代数，是如下直和

 

 

其维数等于二项式系数之和，也就是2ⁿ.

 

例子: 欧氏三维空间的外代数

 

考虑空间R³，其基为{i, j, k}。一对向量

 

 

的楔积为

 

 

其中{i ∧ j, i ∧ k, j ∧ k}是三维空间Λ²(R³)的基底。

 

再加一个向量

 

,

 

这三个向量的楔积是

 

 

其中i ∧ j ∧ k是一维空间Λ³(R³)的基底。

 

空间Λ¹(R³) 是R³, 而空间Λ⁰(R³) 是R。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间Λ(R³)，这是八维向量空间

 

.

 

那么，给定一对8维向量a和b, 其中a如上给出，而

 

,

 

a和b的楔积如下(用列向量表达),

 

.

 

容易验证8维楔积以向量(1,0,0,0,0,0,0,0)为乘法幺元。也可以验证该Λ(R³)代数的楔积是结合的(也是双线性的):

 

 

所以该代数是有单位且结合的。

 

叉乘的实质，赝向量与赝标量

 

对三维欧几里得空间 E³ 可以建立一个线性同构  如下：任取 E³ 的右手的标准正交基 ，，，规定 ϕ 把 ，， 分别映射为 ，，，则 ϕ的定义与右手的标准正交基如何选取无关。

 

不难看出，对任意向量  和 ，这个线性同构把  映射为 。这就是叉乘（向量积）的实质。例如，E³ 中平行四边形 ABCD 的面积向量可以表示为 ，推广之后，高维黎曼流形  中的紧的二维曲面 Σ 的面积用

 

 

来计算（其中 h_ab 是度规张量场  在 Σ 上的诱导度规  的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的渊源关系。

 

物理学中经常要区分的向量（极向量）与赝向量（轴向量）这两个概念，现在就容易理解了：从根本上说，向量是 E³ 中的元素，所以在空间反演变换下会改变方向；而赝向量其实是Λ²(E³) 中的元素，在空间反演变换下不会改变方向。

 

类似地，借助于右手的标准正交基，可以把 Λ³(E³) 中的元素  映射为“标量" 。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。

 

把 2-向量  映射为向量  以及把 3-向量  映射为一个实数 a 的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。

 

泛性质及构造

 

令V为一个域K（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。Λ(V)是“最一般”的包含 V 的并有一个交替乘法在V上由单位的结合K-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：

 

任给一个有单位的结合 K-代数 A 和一个 K-线性映射 j : V → A 使得 j(v)j(v) = 0 对于每个 v 属于 V 成立，则存在恰好一个由单位的代数同态f : Λ(V) → A 使得f(v) = j(v) 所有 v 属于 V 成立。

 

 

要构造最一般的包含 V 的代数，而且其乘法是在 V 上交替的，很自然可以从包含 V 的最一般的代数开始，也就是张量代数 T(V)，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取T(V) 中由所有形为 v⊗v的元素生成的双边理想 I，其中 v 属于 V，并定义 Λ(V)为商

 

Λ(V) = T(V)/I

 

（并且使用 ∧ 为 Λ(V)中的乘法的代号）。然后可以直接证明 Λ(V) 包含 V 并且满足上述泛性质。

 

如果不是先定义 Λ(V) 然后把外幂 Λ^k(V) 等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间 Λ^k(V) 然后把它们合并成为一个代数 Λ(V)。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。

 

反对称算子和外幂

 

给定两个向量空间V和X，一个从V^k到X的反对称算子是一个多线性映射

 

f: V^k → X

 

使得只要v₁,...,v_k 是V中线性相关的向量，则

 

f(v₁,...,v_k) = 0.

 

最著名的例子是行列式值，从(Kⁿ)ⁿ到K的反对称线形算子。

 

映射

 

w: V^k → Λ^k(V)

 

它关联V中的k个向量到他们的楔积，也就是它们相应的k-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在V^k上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子f : V^k → X，存在一个唯一的线性映射φ: Λ^k(V) → X with f = φ o w。这个泛性质表述了空间Λ^k(V)并且可以作为它的定义。

 

所有从V^k到基域K的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若V是有限维的，维数n，则该空间可以认同为Λ^k(V^∗)，其中V^∗表示V的对偶空间。特别的有，从V^k到K的反对称映射的空间是n取k维的。

 

在这个等同关系下，若基域是R或者C，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设ω : V^k → K和η : V^m → K为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：

 

 

其中多线性映射的交替Alt定义为其变量的所有排列的带符号平均：

 

 

注意： 有一些书中楔积定义为

 

 

指标记法

 

在主要由物理学家使用的指标记法中

 

 

微分形式

 

令 M 为一个微分流形。一个微分k-形式 ω 是 Λ^kT^∗M（M 的余切丛的 k 阶外幂）的一个截面。等价的有：ω 是 M 的光滑函数，对于 M 的每个点 x 给定一个 Λ^k(T_xM)^∗的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。

 

推广

 

给定一个交换环R和一个R-模M，我们可以定义和上文一样的外代数Λ(M)，它是张量代数T(M)适当的商。它会满足类似的泛性质。

 

物理应用

 

格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。

 

参看：超空间，超代数，超群

 

注释

 

1. ^ 由下述等价关系 ∼ 所形成的等价类：