第四章 树和二叉树
树的基本概念
树形结构是一类重要的非线性结构。树形结构是结点之间有分支，并且具有层次关系的结构。
树的定义
树：是n(n>=0)个结点的有限集，满足：
- 当 n=0 时，称为 空树；
- 当 n>0 时，有且仅有一个特定的称为 根 的结点；其余的结点可分为m(m>=0)个 互不相交 的子集，其中每个子集又是一颗树，并称其为 子树。
树的逻辑表示
树的相关术语
结点：有一个数据元素及若干指向其它结点的分支所组成。
度：结点的度：所拥有的子树的数目；树的度：树中所有结点的度的最大值。
叶子（终端结点）：度为 0 的结点。
非终端结点：度不会 0 的结点。
孩子（子结点）：结点的子树的根称为该结点的孩子。
双亲（父结点）：一个结点称为该结点所有子树根的双亲。
祖先：结点祖先指根到此节点的一条路径上的所有结点。
子孙：从某节点到叶节点的分支上的所有结点称为该结点的子孙。
兄弟：同一双亲的孩子之间互称兄弟。（父结点相同的点）
结点的层次：从根开始算起，根的层次为1，其余结点的层次为双亲的层次加1。
堂兄弟：其双亲在同一层的结点。
树的深度（高度）：一个树中所有结点层次数的最大值。
有序树：若树中各结点的子树从左到右是有次序的，不能互换，称为有序树。
无序树：若树中各结点的子树是无次序的，可以互换，称为无序树。
森林：是 m(m>=0) 棵树的集合。
二叉树
二叉树的基本概念
二叉树是 n(n>=0) 各结点的有限集合，它或为空（n=0），或是由一个 根 及 两棵 互不相交的 左子树 和 右子树 组成，其左子树和右子树也是二叉树。
二叉树的 特点：
- 二叉树可以是空的，称为 空二叉树；
- 每个结点 最多 只能有两个孩子；
- 子树 有左、右之分 且 次序不能颠倒；
二叉树和树的比较：
| 二叉树 | 树 | |
|---|---|---|
| 结点 | n >= 0 | n >= 0 |
| 子树 | <= 2 | 不定（有限） |
| 结点顺序 | 有（左、右） | 无 |
完全二叉树：深度为 k 的二叉树中，k-1 层结点数是满的 ，k 层结点是左连续的（即结点编号是连续的）。
满二叉树：深度为 k(k>=1) 且有 个结点的二叉树。满二叉树是完全二叉树的特例。
二叉树的性质
在二叉树的第 i(i>=1) 上至多有 个结点；
深度为 k(k>=1) 的二叉树至多有 个结点；
对任何一棵二叉树，如果其叶结点数为 ，度为2的结点数为 ，有：；
含有 n 个结点的 完全二叉树 的深度为 ；
「x」：代表向下取整x
如果将一棵有 n 个结点的 完全二叉树 按层编号（从上到下，从左到右进行编号），则对任一编号为 i(1 <= i <= n) 的结点 A 有：
- 若 i = 1，则结点 A 是根；
- 若 i > 1，则结点 A 的双亲的编号为「 i / 2 」；
- 若 2 * i > n，则结点 A 即无左子结点，也无右子节点；
- 若 2 * i <= n，则结点 A 的左子节点编号为 2 * i；
- 若 2 * i + 1 > n，则结点 A 无右子节点；
- 若 2 * i + 1 <= n，则结点 A 的右子节点编号为 2 * i + 1；
二叉树的存储结构
二叉树的顺序存储结构
它是用一组连续的存储单元存储二叉树的数据元素。因此，必须把二叉树的所有结点安排成为一个恰当的序列，结点在这个序列中的相互位置能反映出结点之间的逻辑关系，可用编号的方法。
二叉树的顺序存储结构 -- 即对二叉树按完全二叉树进行编号，然后用一维数组存储，其中 编号为i 的结点存储在数组中 下标为i 的分量中。
该方法称为 “以编号为地址” 策略。
从树根起，从上层至下层，每层从左至右的给所有结点编号，缺点 是：
- 有可能对存储空间造成极大的浪费，在最坏的情况下，一个深度为 H 且只有 H 个结点的右单支树却需要 个结点存储空间；
- 若经常需要插入与删除树中结点时，顺序存储方法不是很好；
对于 完全二叉树 采用此方法，则：
- 节省内存；
- 结点位置确定方便；
对于 一般二叉树 采用此方法，首先需要用某种方法将其转换成完全二叉树，为此可增设若干个 虚拟结点，则：
- 浪费空间；
- 用于单分支二叉树则存储空间浪费极大；
二叉树的链式存储结构
// 二叉链表类型定义
typedef struct btnode
{
DataType data;
struct btnode *lchild, *rchlid;
} *BinTree;
// 三叉链表类型定义
// parent：指向双亲
typedef struct ttnode
{
DataType data;
struct btnode *lchild, *rchlid, *parent;
} *ThreeTree;
在含 n 个结点的二叉链接表中有 2n 个指针域，其中 n-1 个用来指向结点的左右孩子，其余 n+1 个空链域。
二叉树的遍历
遍历二叉树：是指按 某种次序访问 二叉树上的所有结点，使每个结点被 访问一次 且仅被访问一次。
二叉树遍历的递归实现
先序遍历，DLR：根 -> 左子树 -> 右子树
void preorder(BinTree *bt)
{
if (bt != NULL)
{
visit(bt);
preorder(bt -> lchild);
preorder(bt -> rchild);
}
};
中序遍历，LDR：左子树 -> 根 -> 右子树
void inorder(BinTree *bt)
{
if (bt != NULL)
{
inorder(bt -> lchild);
visit(bt);
inorder(bt -> rchild);
}
};
后序遍历，LRD：左子树 -> 右子树 -> 根
void postorder(BinTree *bt)
{
if (bt != NULL)
{
postorder(bt -> lchild);
postorder(bt -> rchild);
visit(bt);
}
};
任意一棵二叉树的前序和后序遍历的结果序列中，各 叶子结点 之间的相对次序关系 都相同。
二叉树的层次遍历
二叉树的层次遍历：从二叉树的 根结点 的这一层开始，逐层向下 遍历，在每一层上按 从左到右 的顺序对结点逐个访问。
void levelorder(BinTree *bt)
{
LkQue Q;
InitQueue(&Q);
if (bt != NULL)
{
EnQueue(&Q, bt);
while (!EmptyQueue(Q))
{
p = GetHead(&Q);
outQueue(&Q);
visit(bt);
if (p -> lchild != NULL) EnQueue(&Q, p -> lchild);
if (p -> rchild != NULL) EnQueue(&Q, p -> rchild);
};
}
}
应用举例
树和森林
树的存储结构
双亲表示法
以一组连续空间存储树的结点，即一个一个数组构成，数组每个分量包含两个域：
- 数据域：用于存储树上一个结点的数据元素值；
- 双亲域：用于存储本结点的双亲结点在数组中的序号（小标值）；
根结点没有双亲，双亲域的值为：-1
双亲链表的类型定义，如下：
#define size 10
typedef struct
{
DataType data;
int parent;
} Node;
Node slist[size];
孩子链表表示法
孩子链表：树中每个结点的孩子串成一单链表。
n 个结点 - n 个孩子链表
表头数组：n 个头指针用顺序表存储，数组元素存储：
- 结点本身的信息；
- 该结点的孩子链表的头指针；
孩子链表表示法的类型定义，如下：
#define MAXND 20
typedef struct bnode
{
int child;
struct bnode *next;
} node, *childlink;
typedef struct
{
DataType data;
childlink hp;
} headnode;
headnode link[MAXND];
双亲孩子表示法
在 孩子链表表示法 的基础上，在用一维数组顺序存储树中的各结点，数组元素存储：
- 结点本身的信息；
- 该结点的孩子链表的头指针；
- 双亲结点在数组中的序号；
双亲孩子表示法的类型定义，如下：
#define MAXND 20
typedef struct bnode
{
int child;
struct bnode *next;
} node, *childlink;
typedef struct
{
DataType data;
int parent;
childlink hp;
} headnode;
headnode link[MAXND];