CF1765C Card Guessing
CF1765C Card Guessing
题目大意
桌面上有一堆牌，牌有四种花色，每种花色有 n n n张，一共 4 n 4n 4n找张。每次随机从牌堆中抽一张直到抽完，抽出卡片的序列总共有 ( 4 n ) ! (4n)! (4n)!种。Monocarp在每次抽卡时会根据过去 k k k次抽卡的结果来猜当前抽出卡牌的花色，他会固定猜最近 k k k次结果中出现次数最小的那一个花色（如果有多种花色则任意选一个，如果之前抽卡数量小于 k k k则猜测依据是之前所有的抽卡结果）。求期望猜对的次数，输出答案模 998244353 998244353 998244353。
1 ≤ n ≤ 500 1\leq n\leq 500 1≤n≤500， 1 ≤ k ≤ 4 × n 1\leq k\leq 4\times n 1≤k≤4×n
题解
根据期望的线性性，期望猜对的次数等于每次猜对的概率之和。若当前是第 i i i次猜测，设 t = min ( k , i − 1 ) t=\min(k,i-1) t=min(k,i−1)，那么是否猜对只取决于第 i − t i-t i−t项到第 i − 1 i-1 i−1项。我们只需要考虑一个长度为 t + 1 t+1 t+1的序列满足最后一张牌与猜测结果相同的概率。为了方便计算，我们将同种花色的牌视作互不相同的。
设 g i , j g_{i,j} gi,j表示长度为 i i i，花色最少出现的次数为 j j j的序列个数。但因为同种花色的牌数量有限，所以不能用组合数来求，很难直接计算出 g g g，所以我们考虑背包。
设 f c , i , j f_{c,i,j} fc,i,j表示放了前 c c c种花色，卡牌种数为 i i i，最少出现次数为 j j j的方案数。那么对于每个状态，我们只需枚举下一个颜色的放置个数 p p p，就可以由 f c , i , j f_{c,i,j} fc,i,j转移到 f c + 1 , i + p , min ( i , p ) f_{c+1,i+p,\min(i,p)} fc+1,i+p,min(i,p)。因为同种花色的牌是互不相同的，所以转移系数为 C i + p i × C n i × i ! C_{i+p}^i\times C_n^i\times i! Ci+pi×Cni×i!。
对于 j ≥ 1 j\geq 1 j≥1， g i , j = f 4 , i , j g_{i,j}=f_{4,i,j} gi,j=f4,i,j。而 g i , 0 = ∑ c = 1 3 ∑ j = 1 i / c C 4 c f c , i , j g_{i,0}=\sum\limits_{c=1}^3\sum\limits_{j=1}^{i/c}C_4^cf_{c,i,j} gi,0=c=1∑3j=1∑i/cC4cfc,i,j。设 h i h_i hi表示长度为 i i i的不同抽卡序列的个数，则 h i = ∑ j = 0 n g i , j h_i=\sum\limits_{j=0}^n g_{i,j} hi=j=0∑ngi,j。
在计算答案时，我们只需求出对应的 t t t，然后求出满足猜测的序列的个数，再除以总方案数就能得出猜对的概率。当 i = 1 i=1 i=1时，猜对的概率为 1 4 \dfrac 14 41。最后的答案为 1 4 + ∑ i = 2 4 n ∑ j = 1 t / 4 g t , j × ( n − j ) h t + 1 \dfrac 14+\sum\limits_{i=2}^{4n}\frac{\sum\limits_{j=1}^{t/4}g_{t,j}\times (n-j)}{h_{t+1}} 41+i=2∑4nht+1j=1∑t/4gt,j×(n−j)。
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