线代（三）：矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换

下面三种变换称为矩阵的初等变换：

• 对换两行：（或者列）
• 以数乘某一行（列）中的所有元：
• 把某一行（列）所有元的倍加到另一行（列）对应的元上去：

一般而言，常用的是初等行变换
如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价，记作 。当然还有行等价：和列等价：。

矩阵之间的等价关系具有下列性质：
(i)反身性
(ii)对称性　若，则
(iii)传递性　若，，则

若非零矩阵若满足(i)非零行在零行的上面(ii)非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵。
若 是行阶梯形矩阵，并且还满足：（i）非零行的首非零元为1;（ii）首非零元所在的列的其他元均为0，则称 为行最简形矩阵。
对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形。

的左上角是一个单位矩阵，其余元全为0:

与 为 矩阵，那么
（i） 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 ，使 ；
（ii） 的充分必要条件是存在 n 阶可逆矩阵 ，使；
（iii） 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 及 n 阶可逆矩阵，使
.

由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

• 把单位矩阵中第i，j两行对换（或第i，j两列对换），得初等矩阵：
• 以数乘单位矩阵的第i行（或第i列），得初等矩阵:
• 以k乘单位矩阵的第j行加到第i行上或以k乘单位矩阵的第i列加到第j列上，得初等矩阵:

设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘相应的 阶初等矩阵。

注：方阵 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使 。方阵 可逆的充分必要条件是.

矩 阵 的 秩

在 矩阵 中，任取行与列，位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在 中所处的位置次序而得的阶行列式，称为矩阵 的阶子式.
矩阵 的 阶子式共有 个.

设 ，则 与 中非零子式的最高阶数相等.

设在矩阵中有一个不等于0 的阶子式，且所有 阶子式（如果存在的话）全等于0，那么 称为矩阵 的最高阶非零子式，数称为矩阵 的秩，记作。并规定零矩阵的秩等于0。

可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵

矩阵的秩的性质

若,则
若可逆，则
（b为列向量）


若,则

线性方程组的解

线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它不相容。

n 元线性方程组
（i）无解的充分必要条件是 ；
（ii）有惟一解的充分必要条件是 ；
（iii）有无限多解的充分必要条件是 .

线代书中例题如下：

• 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是.
• 线性方程组 有解的充分必要条件是
• 矩阵方程 有解的充分必要条件是.
• 设 ，则 .