Matlab求解线性方程组（三）共轭梯度法和最速下降法的比较

一，共轭梯度法

对于课本计算实例P113：用共轭梯度法求解线性方程组Ax=b，其中

矩阵A的阶数n分别取为100，200，400，指出计算结果是否可靠。

共轭梯度法的求解结果如下：
（1）n=100时
迭代50次后满足精度要求 ,其误差曲线如下图所示。

(2) n=200时
经过100次迭代后满足精度要求，其误差曲线如下图所示。

(2) n=400时
经过200次迭代后满足精度要求，其误差曲线如下图所示。

(1)结果可靠性
n=100,迭代50次，误差迅速减小，达到1.0710-12，最终结果x=(1 1 … 1)T，带入方程，符合题意。
n=200,迭代100次，误差迅速减小，达到6.2310-12，最终结果x=(1 1 … 1)T,带入方程，符合题意。
n=400,迭代200次，误差迅速减小，达到2.14*10-11，最终结果x=(1 1 … 1)T,带入方程，符合题意。
(2)优点
适用于结构简单，一致性高，阶数较大的对称矩阵运算。
(3)局限性
此算法只适用于A对角线元素一致的稀疏对称阵，对角线元素不一致的不适用。同样，生成的b向量适用于个别元素非零，其他元素为零的情况。

二，最速下降法

（1）n=100时
在精度为1*10-6时，迭代了19465次才满足精度要求 。

（2）n=200时
在精度为1*10-6时，迭代了68688次才满足精度要求。

（3）n=400时
在精度为1*10-6时，迭代了239671次才满足精度要求 。

由以上结果可知，在满足同等精度的情况下下，最速下降法的迭代次数远高于共轭梯度法。

三，二者的比较

以n=200为例，作出共轭梯度法与最速下降法的误差随着迭代次数变化的曲线，如下图所示。
分析可知，共轭梯度法在迭代次数达到n的时候，其误差会快速下降，而最速下降法误差减小的趋势比较平缓，说明其收敛速度较慢。