因果推断的基础知识

1 潜在结果框架

专业名词对照表

中文	英文
单元	unit
处理	treatment
控制	control
观察结果	observed outcome
未观察结果	unobserved outcome
潜在结果	potential outcome
处理效应	treatment effect
因果推断	causal inference
随机试验	randomized experiment
个体处理效应	individual treatment effect, ITE
平均处理效应	average treatment effect, ATE
处理的平均处理效应	average treatment effect for the treated, ATT

符号表

符号	意义
$i$	第 $i$ 个事物（或人、群体）
$D_i$	$i$ 的处理（因果变量）
$Y_i$	$i$ 的观察结果
$Y_{0i},Y_{1i}$	$i$ 的潜在结果

一般地，$D_i$ 是可以取多个值（比如医疗上有多重药物可以治疗同一种疾病）。但是，这里只讨论二元的情况，也就是处理和控制，即 $D_i\in \{0,1\}$。

ITE 定义为

$${\tau }_i=Y_{1i}-Y_{0i}.$$

直观地，$i$ 的因果效应是处理情况下的潜在结果 $Y_{1i}$ 与控制情况下的潜在结果 $Y_{0i}$ 的差异。
${\tau }_i$ 的值分以下三种情况：

${\tau }_i$	说明
$=0$	没有因果效应
$>0$	有益的因果效应
$<0$	有害的因果效应

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2 组间均值差异（朴素估计）

最重要的因果估计量是 ATE：
$$\text{ATE}\equiv E[Y_{1i}-Y_{0i}]=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(Y_{1i}-Y_{0i})=E[Y_{1i}]-E[Y_{0i}],$$其中 $N$ 为总体包含的事物个数。

给定样本，ATE 的一个可能估计值为组间均值差异（difference in group means，DIGM），其为观察结果在处理组和控制组之间的差异。假如对于 $i\in \{1,2,\dots ,m\}$，$D_i=1$；对于 $i\in \{m+1,m+2,\dots ,n\}$，$D_i=0$。
即

$\mathbf{i}$	1	2	$\dots$	$\mathbf{m}$	$\mathbf{m}+1$	$\mathbf{m}+2$	$\dots$	$\mathbf{n}$
$D_i$	1	1	$\dots$	1	0	0	$\dots$	0

DIGM 表示为
$$\text{DIGM}\equiv \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{Y}_{1i}-\frac{1}{n-m}\sum _{i=m+1}^n{Y}_{0i}.$$

由样本均值的无偏性可得，
$$E[\text{DIGM}]=E[Y_{1i}|D_i=1]-E[Y_{0i}|D_i=0].$$
另外当 $D_i=1$ 时，$Y_i=Y_{1i}$；当 $D_i=0$ 时，$Y_i=Y_{0i}$。
所以上式可以写做
$$E[\text{DIGM}]=E[Y_i|D_i=1]-E[Y_i|D_i=0].$$

那么，DIGM 是否是 ATE 的无偏估计值呢？
推导：
$$\begin{array}{rl}\text{DIGM}& =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{Y}_{1i}-\frac{1}{n-m}\sum _{i=m+1}^n{Y}_{0i}\\ & =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(Y_{0i}+{\tau }_i)-\frac{1}{n-m}\sum _{i=m+1}^n{Y}_{0i}\\ & =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{\tau }_i+\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{Y}_{0i}-\frac{1}{n-m}\sum _{i=m+1}^n{Y}_{0i}\\ & =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{\tau }_{1i}+\left\{\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{Y}_{0i}-\frac{1}{n-m}\sum _{i=m+1}^n{Y}_{0i}\right\}\end{array}.$$

$$\begin{array}{rl}E[\text{DIGM}]& =E[{\tau }_i|D_i=1]+\left\{E[Y_{0i}|D_i=1]-E[Y_{0i}|D_i=0]\right\}\\ & =\text{ATT}+\left\{\text{selection bias}\right\}\end{array},$$其中 ATT 是 处理组的 ATE。

如果 ATT = ATE，则 DIGM 是 ATE 的无偏估计值。
如果 $E[Y_{0i}]$ 在处理组和控制组相同，则不存在选择偏差。

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3 随机试验

• 假设 $D_i$ 是随机赋值的：$\forall i,\text{Pr}(D_i=1)=c$。
• $E[\text{ATT}]=\text{ATE}$，$E[Y_{0i}|D_i=1]=E[Y_{0i}|D_i=0]$。
• 小样本中仍然正确。

以上三条保证了随机试验是起作用的。

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【参考】

1. 课程 PPT。

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【修改记录】

时间	内容