算法---动态规划

动态规划是一种算法思想，通过将原问题分解成一系列子问题的方式来求解复杂问题，从而减少计算量，提高效率。动态规划的核心思想在于拆分子问题，记住过往，减少重复计算。动态规划一般都是自底向上的，即从最小子问题开始逐步推导，直到得到原问题的解。

动态规划的应用场景包括求最值的问题，如最长递增子序列、最小编辑距离、背包问题、凑零钱问题等等。如果一个问题可以将所有可能的答案穷举出来，并且发现存在重叠子问题，那么就可以考虑使用动态规划。

动态规划的解题思路可以总结为以下几个步骤：

1. 找出规律，确定最优子结构。
2. 确定状态转移方程。
3. 执行状态转移方程，得到最终解。
4. 写出状态转移方程。

其中，找出规律，确定最优子结构是动态规划解题的第一步。最优子结构指的是，如果一个问题的最优解包含了其子问题的最优解，那么这个问题就具有最优子结构。状态转移方程是指在已知某个状态的情况下，如何推导出下一个状态的方程。执行状态转移方程，得到最终解是指，按照状态转移方程逐步推导出最终解。

举个例子，对于求解一个数组的最长递增子序列问题，可以按照以下步骤来解决：

1. 穷举分析：因为动态规划的核心思想是拆分子问题，记住过往，减少重复计算。所以在思考原问题：数组 num[i] 的最长递增子序列长度时，可以思考相关子问题，比如原问题是否跟子问题 num[i-1] 的最长递增子序列长度有关。
2. 找规律，确定最优子结构：当数组长度为 n 时，假设 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度，则 dp[i] 可以由 dp[0]~dp[i-1] 推导出来。如果 nums[i] 大于 nums[j]，则 dp[i] 可以更新为 dp[j]+1，其中 j ∈ [0, i-1]。
3. 状态转移方程：dp[i] = max(dp[j]+1)，其中 j ∈ [0, i-1]，且 nums[i] > nums[j]。
4. 执行状态转移方程，得到最终解：最长递增子序列长度为 max(dp[i])。

总之，动态规划是一种非常经典、有技巧性的算法思想，可以用来解决各种复杂问题。在解决动态规划问题时，需要注意找出规律，确定最优子结构，写出状态转移方程，以及执行状态转移方程，得到最终解。