【二叉树】

二叉树是一种树形结构，其特点是每个节点最多只能有两棵子树，且有左右之分。二叉树中不存在度大于2的结点。许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式，即使是一般的树也能简单地转换为二叉树，而且二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此二叉树显得特别重要。二叉树的应用很广泛，如用来实现二叉查找树和二叉堆，还可以用来实现哈夫曼树、AVL树、红黑树等等。

二叉树的节点最多只能有两棵子树，因此，二叉树有以下几种形态：

• 空二叉树：即不包含任何节点的二叉树。

• 只有一个根节点的二叉树。

• 左子树为空的二叉树。

• 右子树为空的二叉树。

• 左右子树均不为空的二叉树。

二叉树的节点度数有三种情况：

• 度为0的节点称为叶子节点。

• 度为1的节点称为单分支节点。

• 度为2的节点称为双分支节点。

二叉树还有以下特殊的形式：

• 完全二叉树：若设二叉树的深度为h，除第h层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层所有的结点都连续集中在最左边。

• 平衡二叉树：要求对于每一个节点来说，它的左右子树的高度之差不能超过1，如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。

前序遍历中序遍历和后序遍历

在二叉树的遍历过程中，有三种遍历方式：前序遍历、中序遍历和后序遍历。它们的命名规则是基于遍历根节点、左子树和右子树的顺序。具体而言，D、L、R分别代表遍历根节点、遍历左子树和遍历右子树。因此，二叉树的遍历方式有6种：DLR、DRL、LDR、LRD、RDL和RLD。其中，前序遍历指的是先遍历根节点，再遍历左子树，最后遍历右子树；中序遍历指的是先遍历左子树，再遍历根节点，最后遍历右子树；后序遍历指的是先遍历左子树，再遍历右子树，最后遍历根节点。

以下是关于二叉树遍历的一些细节和应用：

• 在前序遍历中，第一个访问的节点是根节点；在中序遍历中，根节点在左子树和右子树之间；在后序遍历中，根节点为最后一个被访问的节点。

• 通过前序遍历和中序遍历的结果可以唯一确定一棵二叉树。假设前序遍历结果为DLR，中序遍历结果为LDR，那么可以根据DLR中的第一个节点D找到根节点，然后在LDR中找到D的位置，左边的节点就是左子树，右边的节点就是右子树。这个过程可以通过递归来完成。

• 通过中序遍历和后序遍历的结果也可以唯一确定一棵二叉树。假设中序遍历结果为LDR，后序遍历结果为LRD，那么可以根据LRD中的最后一个节点D找到根节点，然后在LDR中找到D的位置，左边的节点就是左子树，右边的节点就是右子树。这个过程也可以通过递归来完成。

• 前序遍历和后序遍历的结果不能唯一确定一棵二叉树。例如，对于前序遍历结果为ABCD和后序遍历结果为DCBA的二叉树，可以构造出多棵不同的二叉树。

• 在实际应用中，常常需要对一棵二叉树进行遍历来完成某些操作。例如，可以通过前序遍历来复制一棵二叉树，通过中序遍历来查找二叉搜索树中的某个节点，通过后序遍历来计算二叉表达式树的值。