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[评价体系] 2、层次分析法AHP原理、例题

目录

1 基本介绍

2 建立步骤

2.1 建立递阶式层次结构模型

2.2 构造比较判断矩阵 

2.3  层次单排序及一致性检验

2.4 层次总排序及其一致性检验

2.5 数据加权

3 案例：某学科创新能力评价指标体系

3.1 构建评价指标体系

3.2 构造判断矩阵及一致性检验

3.3 计算综合评价得分

1 基本介绍

层次分析法（analytic hierarchy process，简称AHP）是解决多因素综合评价问题的常用方法，该方法是美国运筹学家，匹茨堡大学教授T.L. Saaty于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

该方法的特点是：

（1）把整个综合评价问题看作一个系统，用系统工程的方法进行决策和判断；

（2）合理解和定性与定量决策，把决策过程层次化、数量化；

（3）把决策者个人偏好引入比较评判过程，符合实际决策过程中的个人习惯思维和心理变化规律；

（4）引入指标重要性比较尺度，通过建立比较矩阵和权重向量解决决策方案的排序问题。

2 建立步骤

2.1 建立递阶式层次结构模型

可分为：目标层、准则层、方案层

[评价体系] 2、层次分析法AHP原理、例题_第1张图片

2.2 构造比较判断矩阵

为每一层每一级的评价体系构造比较判断矩阵。采用1~9及其倒数的标度方法定义，当两两比较完成后，得到比较判断矩阵A=(a_i_j)_{n\sqcap n}，其中a_i_j=\frac{1}{a_j_i},a_i_i=1,因此判断矩阵又称为正互反矩阵。

表1 1-9标度值及其含义
标度a_i_j 含义
1 C_i与C_j一样重要
3 C_i比C_j重要性稍强
5

 C_i比C_j重要性强
7

 C_i比C_j重要性明显强
9

 C_i比C_j重要性绝对强
2,4,6,8

 C_i比C_j重要性介于相邻数之间
\frac{1}{2},...,\frac{1}{9}

 C_i比C_j重要性之比为上面a_i_j的相反数，其含义与之相反

2.3  层次单排序及一致性检验

（1）确定相对权重向量

为了对指标排序，需要确定每个指标的相对权重向量。确定相对权重向量的常见方法有和法、根法、特征根法等。

①和法：将比较判断矩阵A按列归一化，得到归一化的标准矩阵，然后将标准化矩阵按行求算术平均值即得到权重向量，计算公式如下：

\omega _{i}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{a_i_j}{\sum_{k=1}^{n}a_k_i},i=1,2,...,n

eg：设判断矩阵为A，经列归一化后得到矩阵A_{std}，求A_{std}的行算术平均值得到 权重向量\omega

A=\begin{bmatrix} 1 & 1/2 & 1/2\\ 2& 1 & 1/2\\2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\rightarrow A_{std}=\begin{bmatrix} 0.2000 & 0.1429 & 0.2500\\ 0.4000& 0.2857 & 0.2500\\0.4000 & 0.5714 & 0.5000 \end{bmatrix}\rightarrow\omega=\begin{bmatrix}0.1976 \\ 0.3119 \\ 0.4905 \end{bmatrix}

②根法：将比较判断矩阵A按列归一化，得到归一化的标准矩阵，然后将标准化矩阵按行求几何平均后归一化即得到权重向量，计算公式如下：

 \omega _{i}=\frac{\prod_{j=1}^{n}a_{ij}^{1/n}}{\sum_{n}^{k=1}(\prod_{j=1}^{n}a_{kj})^{1/n}}

 eg：设判断矩阵为A，经列归一化后得到矩阵A_{std}，求A_{std}的行几何平均值得到初步权重向量\omega_{f},再归一化后得到最终权重向量\omega

A=\begin{bmatrix} 1 & 1/2 & 1/2\\ 2& 1 & 1/2\\2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\rightarrow A_{std}=\begin{bmatrix} 0.2000 & 0.1429 & 0.2500\\ 0.4000& 0.2857 & 0.2500\\0.4000 & 0.5714 & 0.5000 \end{bmatrix}

\rightarrow\omega_{f}=\begin{bmatrix}0.1926 \\ 0.3057 \\ 0.4853 \end{bmatrix}\rightarrow\omega=\begin{bmatrix}0.1958 \\ 0.3108 \\ 0.4934\end{bmatrix}

（2）计算特征根和特征向量

排序问题最终归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，可运用相关软件计算得到任意精度的最大特征根及其对应的特征向量。假设判断矩阵A=(a_{ij})_{n\times n},i,j=1,2,...,n，通过归一化处理等系列变化过程，可以得到特征向量\omega =(\omega_{1},\omega_{2},...,\omega_{n})^{T}及其最大特征根（可用计算机实现）

\lambda _{max}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{(A\omega)_{i}}{\omega_{i}}

（3）一致性检验

由于系统的复杂性、 认识的多样性以及主观片面性和不稳定性， 要达到完全一致性判断是非常困难的。为了确保层次排序的有效性，必须对给出的判断矩阵进行一致性检验。

其中，一致性检验通常使用一致性比率CR作为检验标准，当CR<0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；当CR\geqslant 0.1时，应考虑对判断矩阵进行调整，再重新计算权重向量并进行一致性检验，直至检验通过。这里有：

CR=\frac{CI}{RI}

其中，CI为一致性指标，CI=\frac{\lambda _{max}-n}{n-1}，CI越大，说明不一致越严重；

RI为平均随机一致性指标，与判断矩阵的阶数n有关，可查表得到。它是利用计算机模拟得到大量的比较判断矩阵，计算相应的CI，并把多次模拟结果取平均得到的。

表2 平均随机一致性指标
矩阵阶数n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 ...

 

2.4 层次总排序及其一致性检验

上面只计算了每一小层的排序和一致性检验。将各层次的权重逐一相乘得到最终方案层各指标对目标层的最终权重后，还要对大层和全部指标总体进行排序和一致性检验。

总体一致性检验的CR值为：

CR^{(k)}=CR^{(k-1)}+\frac{CI^{(k)}}{RI^{(k)}},k\geq 3

其中，CR^{k}为第k层对总目标层的一致性指标，RI^{k}为第k层的平均随机一致性指标。

当CR^{k}<0.1时，认为第k层的判断矩阵通过一致性检验。

2.5 数据加权

将权重矩阵与处理完的规范化数据加权，即可得到最终的综合评分。

需要注意的是，多属性决策或综合评价的主要困难时属性间的不可公度性，在实际评价时需要消除量纲和计量单位不同对评价结果的影响。在对指标进行无量纲化处理时，要注意区分效益型指标、成本型指标、固定型指标和区间型指标，具体处理方法可看本栏目的第一节：

[评价体系] 1、数据规范化/无量纲化方法_禾木页-CSDN博客

3 案例：某学科创新能力评价指标体系

层次分析法在综合评价中一个重要作用是用于确定评价体系的指标权重。

案例来自于：谭春辉.高校哲学社会科学创新能力评价模型与机制[M].北京:科学出版社,2016.5:85-89，引用时有所删改。

3.1 构建评价指标体系

设某高校某学科的创新能力评价指标体系由3个准则层、9个分准则层、18个方案层指标构成，详情如下。

表2  某学科创新能力综合评价体系
目标层

准则层

（一级指标）

分层指标

（二级指标）

方案层

（三级指标）
某学科创新能力

创新投入

U1

科研队伍

U11

 ...U111
...U112

科研经费

U12

 ...U121
...U122

科研设施

U13

 ...U131
...U132

创新运行

U2

社会支持

U21

 ...U211
...U212

管理机制

U22

 ...U221
...U222

组织文化

U23

 ...U231
...U232

创新产出

U3

 科研产出
U31		 ...U311
...U312
学科建设
U32		 ...U321
...U322
社会贡献
U33		 ...U331
...U332

 

3.2 构造判断矩阵及一致性检验

（1）目标层下的判断矩阵及一致性检验

表3 目标层下判断矩阵
项目

创新投入

U1

创新运行

U2

创新产出

U3

相对权重向量wi

（根法）

创新投入

U1

 1 1/2 1/2 0.1958

创新运行

U2

 2 1 1/2 0.3108

创新产出

U3

 2 2 1 0.4934

计算该判断矩阵的特征根和特征向量分别为：

\lambda_{max} =3,0536

W_{0}=[0.5053,0.8021,0.3183]^{T}

一致性指标：CI=\frac{\lambda _{max}-n}{n-1}=\frac{3.0536-3}{3-1}=0.0268

查表得：当n=3时，对应的平均一致性指标RI=0.58

所以一致性比率CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.0268}{0.58}=0.0462<0.1，认为判断矩阵的一致性是可以接受的。

（2）求准则层和分准则层下的判断矩阵及一致性检验

按照上述方法，分别对各层级建立判断矩阵分别进行一致性检验，还需检验12次。

创新投入U1、科研队伍U11、科研经费U12、科研设施U13（4个）

创新运行U2、社会支持U21、管理机制U22、组织文化U23（4个）

 创新产出U3、科研产出U21、学科建设U32、社会贡献U33（4个）

（3）经一致性检验后的判断矩阵，可以得到各层指标的最终权重

表4  某学科创新能力综合评价体系
目标层

准则层

（一级指标）

分层指标

（二级指标）

方案层

（三级指标）（略）
某学科创新能力

创新投入

U1/ 0.1958

科研队伍

U11/ 0.6917

 ...U111/ 0.6319
...U112/ 0.3681

科研经费

U12/ 0.2364

 ...U121/ 0.3456
...U122/ 0.6544

科研设施

U13/ 0.0819

 ...U131/ 0.2364
...U132/ 0.7636

创新运行

U2/ 0.3108

社会支持

U21/ 0.0974

 ...U211/ ...
...U212/ ...

管理机制

U22/ 0.5695

 ...U221/ ...
...U222/ ...

组织文化

U23/ 0.3331

 ...U231/ ...
...U232/ ...

创新产出

U3/ 0.4934

 科研产出
U31/ 0.7838		 ...U311/ ...
...U312/ ...
学科建设
U32/ 0.1349		 ...U321/ ...
...U322/ ...
社会贡献
U33/ 0.0813		 ...U331/ ...
...U332/ ...

3.3 计算综合评价得分

获取方案层各指标数据，对其进行规范化处理后，按照权重逐级相乘，可得到最终某学科创新能力的综合得分，以及在各分层（如U1、U2、U3；U11、U12...）的细项得分。

指标规范化方法：[评价体系] 1、数据规范化/无量纲化方法_禾木页-CSDN博客

参考：

[1] 刘保东、宿洁、陈建良.数学建模基础教程[M].北京:高等教育出版社,2015.9:404-407

[2] 谭春辉.高校哲学社会科学创新能力评价模型与机制[M].北京:科学出版社,2016.5:85-89

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  • 在一起的日子 少些期待
    在一起已经三年多了，我是一个97年的摩羯座女生，他是一个89年的同样的摩羯座男生，刚开始是他追的我，我开始对他也挺有好感的，他从他朋友哪里，要到我的电话号，给我发信息，我没理他。然后我们的故事就这样开始了·····我不记得到底是什么，让我对他特别喜欢，想一心一意跟着他过日子，说白了我也就是个他的小跟班，又或者是个小跟屁虫，或者是个保姆，反正就是他在那里，我就得陪他到哪里，谈了半年多对象的时候，他因
  • 大雄的新恐龙：养育生命，的确不易 沧浪先生
    哆啦A梦这个动画片，我小时候没有看过，长大了之后似乎对这种充满童真童趣的动画片也没有太多的喜爱，所以结果很明显，我并没有看过哆啦A梦这个动画片。但是近年来大屏幕的兴起，让各家影视剧制作者发现了电影化的好处，没错，电影不仅影响力更大，钱赚得也多。《哆啦A梦·大雄的新恐龙》是最新的一部大屏幕电影，大雄和柯南一样，都永远长不大，而且他和他的小伙伴日复一日、年复一年地和机器猫哆啦A梦在一起玩耍，永远的神奇
  • Enum用法 不懂事的小屁孩 enum
    以前的时候知道enum，但是真心不怎么用，在实际开发中，经常会用到以下代码: protected final static String XJ = "XJ"; protected final static String YHK = "YHK"; protected final static String PQ = "PQ";
  • 【Spark九十七】RDD API之aggregateByKey bit1129 spark
    1. aggregateByKey的运行机制   /** * Aggregate the values of each key, using given combine functions and a neutral "zero value". * This function can return a different result type
  • hive创建表是报错： Specified key was too long; max key length is 767 bytes daizj hive
    今天在hive客户端创建表时报错，具体操作如下   hive> create table test2(id string); FAILED: Execution Error, return code 1 from org.apache.hadoop.hive.ql.exec.DDLTask. MetaException(message:javax.jdo.JDODataSto
  • Map 与 JavaBean之间的转换 周凡杨 java自省转换反射
    最近项目里需要一个工具类，它的功能是传入一个Map后可以返回一个JavaBean对象。很喜欢写这样的Java服务，首先我想到的是要通过Java 的反射去实现匿名类的方法调用，这样才可以把Map里的值set 到JavaBean里。其实这里用Java的自省会更方便，下面两个方法就是一个通过反射，一个通过自省来实现本功能。 1：JavaBean类 1 &nb
  • java连接ftp下载 g21121 java
    有的时候需要用到java连接ftp服务器下载，上传一些操作，下面写了一个小例子。 /** ftp服务器地址 */ private String ftpHost; /** ftp服务器用户名 */ private String ftpName; /** ftp服务器密码 */ private String ftpPass; /** ftp根目录 */ private String f
  • web报表工具FineReport使用中遇到的常见报错及解决办法（二） 老A不折腾 finereportweb报表java报表总结
      抛砖引玉，希望大家能把自己整理的问题及解决方法晾出来，Mark一下，利人利己。   出现问题先搜一下文档上有没有，再看看度娘有没有，再看看论坛有没有。有报错要看日志。下面简单罗列下常见的问题，大多文档上都有提到的。   1、没有返回数据集： 在存储过程中的操作语句之前加上set nocount on 或者在数据集exec调用存储过程的前面加上这句。当S
  • linux 系统cpu 内存等信息查看 墙头上一根草 cpu内存liunx
    1 查看CPU 　　1.1 查看CPU个数 　　# cat /proc/cpuinfo | grep "physical id" | uniq | wc -l 　　2 　　**uniq命令：删除重复行;wc –l命令：统计行数** 　　1.2 查看CPU核数 　　# cat /proc/cpuinfo | grep "cpu cores" | u
  • Spring中的AOP aijuans springAOP
      Spring中的AOP Written by Tony Jiang @ 2012-1-18 （转）何为AOP AOP，面向切面编程。 在不改动代码的前提下，灵活的在现有代码的执行顺序前后，添加进新规机能。 来一个简单的Sample: 目标类： [java]  view plain copy print ? package&nb
  • placeholder(HTML 5) IE 兼容插件 alxw4616 JavaScriptjquery jQuery插件
    placeholder 这个属性被越来越频繁的使用. 但为做HTML 5 特性IE没能实现这东西. 以下的jQuery插件就是用来在IE上实现该属性的. /** * [placeholder(HTML 5) IE 实现.IE9以下通过测试.] * v 1.0 by oTwo 2014年7月31日 11:45:29 */ $.fn.placeholder = function
  • Object类,值域,泛型等总结(适合有基础的人看) 百合不是茶 泛型的继承和通配符变量的值域Object类转换
    java的作用域在编程的时候经常会遇到,而我经常会搞不清楚这个 问题,所以在家的这几天回忆一下过去不知道的每个小知识点   变量的值域;   package 基础; /** * 作用域的范围 * * @author Administrator * */ public class zuoyongyu { public static vo
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  • 开源中国OSC源创会记录 bijian1013 hadoopsparkMemSQL
    一.Strata+Hadoop World（SHW）大会         是全世界最大的大数据大会之一。SHW大会为各种技术提供了深度交流的机会，还会看到最领先的大数据技术、最广泛的应用场景、最有趣的用例教学以及最全面的大数据行业和趋势探讨。          二.Hadoop   &nbs
  • 【Java范型七】范型消除 bit1129 java
    范型是Java1.5引入的语言特性，它是编译时的一个语法现象，也就是说，对于一个类，不管是范型类还是非范型类，编译得到的字节码是一样的，差别仅在于通过范型这种语法来进行编译时的类型检查，在运行时是没有范型或者类型参数这个说法的。 范型跟反射刚好相反，反射是一种运行时行为，所以编译时不能访问的变量或者方法(比如private)，在运行时通过反射是可以访问的，也就是说，可见性也是一种编译时的行为，在
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    spark-sql是Spark bin目录下的一个可执行脚本，它的目的是通过这个脚本执行Hive的命令，即原来通过 hive>输入的指令可以通过spark-sql>输入的指令来完成。 spark-sql可以使用内置的Hive metadata-store，也可以使用已经独立安装的Hive的metadata store   关于Hive build into Spark
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    第一种：精确到秒的javascript倒计时代码      HTML代码:   <form name="form1">   <div align="center" align="middle"
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