双因素方差分析_R语言统计篇：双因素方差分析

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在往期的文章里，介绍过单因素方差分析[R语言统计篇：单因素方差分析]，今天介绍 双因素方差分析(Two-way ANOVA) 。 此方法用于检验两个分类变量(自变量)与一个连续变量(因变量)之间的关系。 比方说，如果一个分类变量有两个组别，另外一个分类变量有三个组别，那么一共就有2×3( = 6)个组别。根据各组之间的样本量是否相等，双因素方差分析又可分为 均衡设计(Balanced design)与非均衡设计(Unbalanced design) 。 此篇文章会先介绍均衡设计，末尾再补上非均衡设计 。 与所有的方差分析一样，双因素方差分析的使用也需要满足 几个前提 ： 

1. 残差需符合正态或接近正态分布。

2. 各组别的方差相同，即方差齐性。

1. 均衡设计的双因素方差分析(各组间样本量相等)

1.1 准备数据

今天使用到的数据是R自带的“ ToothGrowth” ，是研究维生素C对于豚鼠牙齿生长的影响。
此研究一共包含60只豚鼠，每只豚鼠通过两种给药方式( supp : OJ与VC)给予三种不同剂量的维生素C( dose : 0.5, 1, 2 mg/day)。 首先查看基本内容： 

summary(ToothGrowth)

 ##      len        supp         dose      
 ## Min.   : 4.20   OJ:30   Min.   :0.500  
 ## 1st Qu.:13.07   VC:30   1st Qu.:0.500  
 ## Median :19.25           Median :1.000  
 ## Mean   :18.81           Mean   :1.167  
 ## 3rd Qu.:25.27           3rd Qu.:2.000  
 ## Max.   :33.90           Max.   :2.000

再查看数据结构： 

str(ToothGrowth)

#'data.frame':	60 obs. of  3 variables:
# $ len : num  4.2 11.5 7.3 5.8 6.4 10 11.2 11.2 5.2 7 ...
# $ supp: Factor w/ 2 levels "OJ","VC": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
# $ dose: num  0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ...

从上述可知，此数据集包含60行*3列的数据。
其中， supp 是一个两水平(2 levels)的分类变量(factor)；变量 dose 在R中是以数值型(num)变量的形式保存。
而双因素方差分析要求 两个自变量均为分类变量 (categorical variable或factor)，所以应将 dose 转换为factor的形式，以备后续分析使用。

mydata mydata$dose 
# 查看dose是否已经转为为factor
str(mydata)

#'data.frame':	60 obs. of  3 variables:
# $ len : num  4.2 11.5 7.3 5.8 6.4 10 11.2 11.2 5.2 7 ...
# $ supp: Factor w/ 2 levels "OJ","VC": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
# $ dose: Factor w/ 3 levels "0.5","1","2": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

从上述结果可知，dose已经被转化成为factor，并且是一个3水平的(levels)分类变量。 下一步，查看一下6组间的样本量各是多少： 

table(mydata$supp, mydata$dose)

#     0.5  1  2
#  OJ  10 10 10
#  VC  10 10 10

上述是一个2*3的表格，每个样本量分别为10，因此属于 均衡设计双因素方差分析 。

1.2 作图

双因素方差分析可以选择的作图方式有很多，这里介绍 箱形图 [R语言画展ggplot2篇-箱形图]。

library(ggplot2)
ggplot(mydata, aes(dose, len, color = supp)) + 
  geom_boxplot()

从上图中基本可以了解到，不同的剂量(dose)与不同的给药方式(supp)可能都会对牙齿的生长(len)有影响，并且可能存在交互作用。 下一步进行统计分析。

1.3 双因素方差分析的计算

首先，拟合只包含主效应的的方程，此类方程假定dose与supp之间是相互独立的。

# 未包含dose:supp的交互项
myaov_1 summary.aov(myaov_1)

#            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
#dose         2 2426.4  1213.2   82.81  < 2e-16 ***
#supp         1  205.4   205.4   14.02 0.000429 ***
#Residuals   56  820.4    14.7                     
#---
#Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

上述的输出结果包含两个重要的统计值： F值与p值 。 如果认为 dose 与 supp 之间可能存在交互作用；换句话说，想要研究给药剂量(dose)与牙齿生长(len)之间的关系会不会随着给药方式的不同(supp)而改变，那么可以在方程中加入 交互项 。

## 添加dose:supp的交互项
myaov_2 summary.aov(myaov_2)

#            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
#dose         2 2426.4  1213.2  92.000  < 2e-16 ***
#supp         1  205.4   205.4  15.572 0.000231 ***
#dose:supp    2  108.3    54.2   4.107 0.021860 *  
#Residuals   54  712.1    13.2                     
#---
#Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

1.4 结果解释

如果将p值设定在0.05，我们可以得出以下结论：  ① supp的p值为0.00049，提示不同的给药方式与不同的牙齿长度有关。 ② dose的p值为<2e-16，提示不同的药物剂量与不同的牙齿长度有关。 (注：上述变量的p值来自myaov_1，而不是myaov_2) ③ dose与supp交互项的p值为0.02， 提示给药剂量与牙齿长度之间的关系随着给药方式的不同而改变。

1.5 多重比较

从上述ANOVA的结果可知某些组别之间存在统计学差异，但并不知具体哪对组别之间存在统计学差异。 因此，下一步进行多重比较，我们选择的是经典的 Tukey HSD : 

TukeyHSD(myaov_2, which = "dose:supp")#Tukey multiple comparisons of means
#    95% family-wise confidence level

#Fit: aov(formula = len ~ dose + supp + dose:supp, data = mydata)

#$`dose:supp`
                 diff        lwr         upr     p adj
#1:OJ-0.5:OJ     9.47   4.671876  14.2681238 0.0000046
#2:OJ-0.5:OJ    12.83   8.031876  17.6281238 0.0000000
#0.5:VC-0.5:OJ  -5.25 -10.048124  -0.4518762 0.0242521
#1:VC-0.5:OJ     3.54  -1.258124   8.3381238 0.2640208
#2:VC-0.5:OJ    12.91   8.111876  17.7081238 0.0000000
#2:OJ-1:OJ       3.36  -1.438124   8.1581238 0.3187361
#0.5:VC-1:OJ   -14.72 -19.518124  -9.9218762 0.0000000
#1:VC-1:OJ      -5.93 -10.728124  -1.1318762 0.0073930
#2:VC-1:OJ       3.44  -1.358124   8.2381238 0.2936430
#0.5:VC-2:OJ   -18.08 -22.878124 -13.2818762 0.0000000
#1:VC-2:OJ      -9.29 -14.088124  -4.4918762 0.0000069
#2:VC-2:OJ       0.08  -4.718124   4.8781238 1.0000000
#1:VC-0.5:VC     8.79   3.991876  13.5881238 0.0000210
#2:VC-0.5:VC    18.16  13.361876  22.9581238 0.0000000
#2:VC-1:VC       9.37   4.571876  14.1681238 0.0000058

上述呈现了各个组别之间的两两比较结果。

1.6 查看是否符合检验的前提

ANOVA要求残差需符合正态分布以及各组间的方差相等。 如果违反了这些前提，那我们上述所得的结论都会显得不可靠。在写报告或者发表论文时，添加检验的内容会增加研究结果的可靠性。 第一步 ：检验残差是否符合正态分布，将会使用到{car}包里面的leveneTest()： 

library(car)
leveneTest(len ~ dose*supp, data = mydata)

##Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##      Df F value Pr(>F)
##group  5  1.7086 0.1484
##      54

p值等于0.1484，提示各组间的方差没有显著性差异。因此，没有违反方差齐性的前提。 第二步 ：检验残差是否符合正态分布(可以做一个qq图)：

plot(myaov_2, 2)

所有的点大体上分布在对角线上，提示：没有违反正态性的原则。

2. 非均衡设计的双因素方差分析(各组间样本量不等)

如果各组间的样本量不等，操作方式有些许不同，将会使用到{car}包中的Anova()( 注：Anova中的A要大写 )，见下方代码： 

library(car)
my_model Anova(my_model, type = "III")

这里推荐使用type = "III"，指的是采用第三类平方和，也是其他商业类统计软件(如SPSS)所采取的模式。

##Anova Table (Type III tests)

##Response: len
             Sum Sq Df F value    Pr(>F)    
##(Intercept) 1750.33  1 132.730 3.603e-16 ***
##dose         885.26  2  33.565 3.363e-10 ***
##supp         137.81  1  10.450  0.002092 ** 
##dose:supp    108.32  2   4.107  0.021860 *  
##Residuals    712.11 54                      
##---
##Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

结果的解释以及其他内容与均衡设计类似，不再赘述。

好啦，今天的内容就到这里~~

▌声明：本文由 R语言与统计 首发，转载请注明 ▌图片来源：壹伴助手 ▌编辑：June     让R语言与统计更简单 对我们最好的鼓励就是点赞，关注与转发哦！

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