初识希尔伯特变换(Hilbert Transform)

要想很好的理解，需要有信号处理的前导知识

• 希尔伯特

  David Hilbert(1862-1943),德国数学家。人类智慧丰碑的一个家伙。

• 希尔伯特变换的物理意义

  是一种积分变换，把信号的所有频率分量的相位推迟90度。

  用于做解调器，包括调幅、调频。

  希尔伯特变换是分析和处理信号的一个重要的理论工具，在通信系统中希尔伯特变换通常用来构造解析信号。希尔伯特变换可以提供90°的相位变换而不影响频频分量的幅度，即对信号进行希尔伯特变换就是相当于对信号进行正交移相，使之称为自身的正交对。

• Hilbert Transform

  Dennis Gabor(1946年)：传统经典的信号研究方法主要概括为基于傅里叶变换的谱分析、基于概率分布的统计分析和其它随机信号表示方法，同时还有起源于很早的典型谱、相关和分布特征，而这些分析方法研究的一个基本考虑是将随机信号表达为两个独立函数的乘积。

  对于一个实值函数$x(t)$，其希尔伯特变换记作$\hat{x}(t)$或$H[x(t)]$ :
  $$\begin{gathered} \hat{x}(t)=H[x(t)]=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x(\tau )}{1-\tau }d\tau =x(t)\ast \frac{1}{\pi t} \\ 其中，\ast 为卷积 \end{gathered}$$
  反变换为
  $$x(t)=H^{-1}[\hat{x}(t)]=-\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\hat{x}(\tau )}{1-\tau }d\tau$$
  $\hat{x}(t)x(t)$称为Hilbert Transform pair。

  有卷积（convolution）经验的人可能会看到，Hilbert变换的表达式就是将原始信号和一个信号做卷积的结果，这个用来卷积的信号就是：
  $$h(t)=\frac{1}{\pi t}$$
  Hilbert Transform看作是将原始信号通过一个滤波器：

• Properties of the Hilbert Transform

  一组希尔伯特变化对，具有如下性质：

  1. The same amplitude spectrum.
  2. The same autocorrelation function.
  3. The energy spectral density is same for both x(t) and x^x(t).
  4. x(t) and x^x(t) are orthogonal.
  5. The Hilbert transform of x^x(t) is -x(t)
  6. If Fourier transform exist then Hilbert transform also exists for energy and power signals.

• References

1. 希尔伯特变换（Hilbert Transform）简介及其物理意义

2. 希尔伯特变换与瞬时频率问题–连载

3. TutorialsPoint

4. WaveMetrics

5. 希尔伯特变换滤波器的FPGA设计,2017(36-2)

6. 刘译胶,一种时域希尔伯特变换方法[D],重庆:重庆大学,2016.5