【题解】矩形分割（二分）

题干

平面上有一个大矩形，其左下角坐标（0，0），右上角坐标（R,R)。大矩形内部包含一些小矩形，小矩形都平行于坐标轴且互不重叠。所有矩形的顶点都是整点。要求画一根平行于y轴的直线x=k（k是整数) ，使得这些小矩形落在直线左边的面积必须大于等于落在右边的面积，且两边面积之差最小。并且，要使得大矩形在直线左边的的面积尽可能大。注意：若直线穿过一个小矩形，将会把它切成两个部分，分属左右两侧。

输入格式

第一行是整数R，表示大矩形的右上角坐标是(R,R) (1 <= R <= 1,000,000)。

接下来的一行是整数N,表示一共有N个小矩形(0 < N <= 10000)。

再接下来有N 行。每行有4个整数，L,T, W 和 H, 表示有一个小矩形的左上角坐标是(L,T),宽度是W，高度是H (0<=L,T <= R, 0 < W,H <= R). 小矩形不会有位于大矩形之外的部分。

在讲这道题之前，复习一下二分写法：

while(l < r) {
	int mid = (l + r + 1) >> 1;
	if(check(mid)) l = mid;
	else r = mid - 1;
}

或这样：

while(l < r) {
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(check(mid)) r = mid;
	else l = mid + 1;
}

这个写法好处在于不用特判，l就是答案，强烈推荐

题解

先读题干，有以下信息：

1. S左 >= S右，要使S左 - S右 最小，且尽量靠右
2. 怎么算分割线下的差值，其实就是循环对每个矩形进行计算即可

那么用什么作为标准二分呢？怎么用二分做！

二分适用于一段单调序列，如果我们计算每个分割线下的左右差值，应该是这样：

这不符合二分，但是可以考虑用三分，找到最接近0的位置（相同则尽量靠右），若此时S左>=S右，直接输出答案；若S左S右，就是答案！（注意若再下一个也是最小，则选择再下一个数）因为假设下一个S左仍

然而遗憾的是：这个函数有很多值相等，我们不知道是位于同侧还是位于异侧，无法确定范围，所以三分不可行。

思路二：我们用S左-S右作关键字，发现S左-S右是从左往右单调不严格递增！

进一步，定义一个函数计算f（n）=S左-S右，n是分割线位置，我们取的是f（n）>= 0且最小的那个值

注意：在满足最小的情况下尽量靠右！

核心代码：

while(l<r) {
	ll mid=(l+r)/2;
	if(check(mid)<0) l=mid+1;
	else if(check(mid)==0) l=mid;
	else r=mid;
}

然而这种二分到最后可能会卡死，自己想！

伪代码：

struct jx{
	无； 
} 
int/bool check() {
	return sum1-sum2;
}
int main() {
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		初始化； 
	}
	二分；
	输出； 
}

Accepted!

//二分
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=1e5+5;
ll R,n,L,T,W,H,ans,sum;
struct jx{
	ll head,tail,k,len;
}a[MAXN];
ll check(ll x) {
	ll sum1=0,sum2=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(a[i].tail<=x) {
			sum1+=a[i].len*a[i].k;
		}
		else if(a[i].tail>=x&&a[i].head<=x) {
			sum1+=(x-a[i].head)*a[i].k;
			sum2+=(a[i].tail-x)*a[i].k;
		}
		else if(a[i].head>=x) {
			sum2+=a[i].len*a[i].k;
		}
	}
	return sum1-sum2;
}
int main() {
	scanf("%lld%lld",&R,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&L,&T,&W,&H);
		a[i].head=L,a[i].tail=L+W,a[i].k=H,a[i].len=W;
		sum=max(sum,a[i].tail);
	}
	ll l=0,r=sum;
	while(l+1<r) {
		ll mid=(l+r)/2;
		if(check(mid)<0) l=mid+1;
		else if(check(mid)==0) l=mid;
		else r=mid;
	}
	if(check(l)>=0&&check(l)<check(r)) ans=l;
	else ans=r;
	printf("%lld",ans);
}