AI理论随笔-对称矩阵、正交矩阵与特征向量，特征值（2）

一、
如果：$A{A}^T=E$（E为单位矩阵，$A^T$表示“矩阵A的转置矩阵”）或$A^{T}A=E$，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件：
(1) $A^T$是正交矩阵
(2) E为单位矩阵
(3) A的各行是单位向量且两两正交
(4) A的各列是单位向量且两两正交
(5) $|A|=1$或$-1$，$abs(A)=1$
(6) $A^T=A^{-1}$
(7) 正交矩阵通常用字母Q表示。
二、特征向量的长度限制为1，这些特征向量组成的矩阵，首先，这些特征向量是单位向量，其次，这些特征向量是正交的。
三、内积是向量的一种运算。
（1）向量的数量积（点积）：$a$和$b$都是列向量，有$a\cdot b=|a|\times |b|\times cos\theta$，这2个向量是2维或3维。
在3维空间中
$(x_1,x_2,x_3)\cdot (y_1,y_2,y_3)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$
（2）内积是数量积的一种推广，用内积来定义n维向量的长度和夹角
$$(a\cdot b)=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n$$
（3）n维向量$x$的长度(或模)=$||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$，当$||x||=1$时，称$x$为单位向量。
（4）向量标准化
当$x̸=0时，\frac{x}{||x||}$是一个单位向量，称这一运算为将向量$x$标准化或单位化。
(5)向量夹角
$$cos\theta =\frac{x\cdot y}{||x||\times ||y||}$$
$x\cdot y=0$表示$x和y$正交，当$x=0或y=0$则向量内积正交，零向量与任何向量都正交。