《数字图像处理》空间滤波学习感悟2：空间相关与卷积的概念、区别及联系

一、引言

在图像处理以及人工智能中，“卷积”一词是非常重要的概念，也是初学者难以理解的地方。在《数字图像处理：理解什么是卷积（滤波）、卷积核以及相关参考资料》老猿结合相关知识详细介绍了卷积相关知识，这几天学习《数字图像处理》第三章《空间相关与卷积》才知道以前的知识虽然不能说错误，但也不能说完全准确。

二、空间相关和卷积的概念

2.1、简介

在执行线性空间滤波时，必须清楚地理解两个相近的概念。一个是相关(correlation)，另一个是卷积(Convolution)。卷积的概念是线性系统理论的基石。

如《《数字图像处理》空间滤波学习感悟1：空间滤波原理》介绍，滤波器模板移过图像并计算每个位置乘积之和的处理其实就是相关。

卷积与相关相似，但滤波器首先要旋转180°。

解释这两个概念的区别的最好方法是举一个例子，在此之前，我们先介绍一个重要概念：离散单位冲激。

2.2、离散单位冲激概念

离散单位冲激（discrete unit impulse）就是包含单个1其余都是0的函数。

老猿注：离散单位冲激，首先它是一个函数，而这个函数是一个由数字序列或数字矩阵表达的函数。discrete unit impulse，按英文字面意思可以称为离散单位脉冲，可以设想一个由一系列0和1表达的电波图形（函数图形），当该电波中只有一个坐标的值为1其余都为0时，该电波图形对应的函数就是离散单位冲激。

2.3、一维相关与卷积案例

我们从一个一维示例开始，下图3.29(a)显示了一个一维函数f和一个滤波器w，图3.29(b)显示了执行相关的起始位置。

图3.29(b)中，我们注意到f和w开始对齐位置中，f中存在未完全和w数据对应覆盖的部分，类似的在从w的倒数第二个数字和f的最后一个数字对齐时也未覆盖的部分。该问题的解决办法是在f的任意一侧补上足够的0（如果滤波器的尺寸是m，那么我们需要在f的两侧各补m-1个0），以便使 w 中的每一个像素都可访问到f中的每一个像素。图3.29©显示了适当填充过的函数。

当然零填充并不是唯一的选择（老猿认为：为了说明相关和卷积的概念，填0更直观）。例如。我们可在/的两侧复制第一个元素和最后一个元素m-1次，或镜像第一个元素和最后一个元素m-1次，并为填充使用镜像后的值。

相关处理过程：

1. 相关的第一个值是如图3.29©所示的初始位置的f和w的乘积之和(乘积之和为0)。这相当于位移x=0；
2. 为了得到相关的第二个值，我们把 w 向右移动一个像素位置(位移x=1)，并计算乘积之和，结果还是0；
3. 重复w向右移动过程中，当x=3时才第一次出现非零结果，在这种情况下，w中的8覆盖f中的1，相关的结果是8。 按这种方法进行，我们可以得到图3.29(g)中的全部相关结果；
4. 通常情况下，会将相关的结果数据大小保持与函数f一致，这样我们需要将全部相关的结果进行裁剪（老猿理解一般是左右两侧各裁剪相同大小，该大小应该为前面f两侧补0个数的一半），图3.29(h)就是裁剪后的结果。

注意：

1. 从上述过程中可以看到，可以看到相关处理过程中，x取了12个值(即x=0，1，2，…，11)，这样使w滑过f、以便w中的每一个像素访问f中的每一个像素。相关的第一个值对应于滤波器的零位移，第二个值对应于一个单元位移，等等，因此相关是滤波器位移的函数。
2. 滤波器 w与包含有全部0和单个1的离散单位冲激函数相关，得到的结果就是 w的一个拷贝，但旋转了180°（即数字序列倒转）。因此一个函数与离散单位冲激相关，在该冲激位置产生这个函数的一个翻转的版本；
3. 如果预先旋转滤波器，并执行相同的滑动乘积求和操作，就能得到原函数f的一个拷贝，这个过程就是卷积。卷积的基本特性是某个函数与某个单位冲激卷积，得到一个在该冲激处的这个函数的拷贝。如图3.29右边一列所示的那样。由此，我们看到，为了执行卷积，需要做的是把一个函数旋转180°（旋转180°即水平翻转对应函数），然后执行相关中的相同操作。正如其结果所示，旋转两个函数的做法没有区别。

2.3、二维图像相关与卷积案例

上述一维相关与卷积的案例及概念很容易扩展到二维图像。对于大小为mxn的滤波器，我们在图像的顶部和底部至少各填充m-1行0、左侧和右侧各填充n-1列0，以二维的仅包含一个1其余全为0的核矩阵代替一维的序列，就可以以图像矩阵和核矩阵进行相关和卷积的处理。

以一个5×5的图像矩阵和一个3×3的核矩阵为例，其相关和卷积处理过程如下图3.30所示：

图3.30（c）显示了执行相关操作的滤波器模板的初始位置；图3.30(d)显示了所有相关操作的结果；图3.30(e)显示了裁剪后的相应结果。图3.30(f)到(h)显示了卷积的结果。

从图3.30可以看出：

1. 对于相关，与一维数据一样，二维图像矩阵相关的结果旋转了180°；
2. 对于卷积，与一维数据一样，在预先旋转模板然后使用刚才描述的方法对乘积做滑动求和操作后，一个函数与一个冲激卷积，在该冲激的位置复制了这个函数；
3. 很容易想到，如果滤波器模板是对称的，相关和卷积将得到相同的结果；
4. 在二维情况下，旋转180°等同于沿一个坐标轴翻转模板，然后沿另一个坐标轴再次翻转模板。

三、相关和卷积的公式表示

3.1、相关的表示

一个大小为m×n的滤波器w(x,y)与一幅图像f(x,y)做相关操作，可以表示为：
w(x, y)☆f(x, y)，其计算方法就是在《数字图像处理》空间滤波学习感悟1：空间滤波原理》中介绍的滤波公式：

因此有如下公式：

这一公式对所有位移变量x和y求值，以便w的所有元素访问f（假设f已经适当填充）的每一个元素。在上述公式中，a=(m-1)/2、b=(n-1)/2。

3.2、卷积的表示

滤波器w(x,y)与一幅图像f(x,y)做卷积操作，可以表示为：w(x, y)★f(x, y)，对应表示公式为：

式3.4.2右边的减号表示翻转f（旋转180°）。虽然翻转f和w效果是一样的，但一般惯例是翻转w。这一公式同样对所有位移变量x和y求值，以便w的所有元素访问f（假设f已经适当填充）的每一个元素。

四、小结

本文介绍了空间滤波中的两个重要基础概念：相关和卷积，并介绍了使用式3.4-1和式3.4-2来表述这两个操作，在实践中，对于相关和卷积通常用同一个算法实现式3.4-1，如果要执行相关，可以将滤波器w输入到算法中，如果要执行卷积，则可以将旋转180°的w输入到算法中。当然也可以用算法实现式3.4-2，只是输入恰好与相关相反。

使用相关或卷积执行空间滤波是优先选择的方法，无论是式3.4-1还是式3.4-2，都可以通过简单的旋转滤波器去执行相关或卷积的功能。在空间滤波任务中，重要的是按期望操作的方式来确定滤波器模板（filter mask）。

在图像处理文献中，经常使用卷积滤波器（convolution filter）、卷积模板（convolution mask ）或卷积核（ convolution kernel）这些术语，按照惯例，这些术语都是用于表示一种空间滤波器（spatial filter），并且该滤波器不一定真正用于卷积处理。类似地，模板与图像的卷积（convolving a mask with an image）通常用于表示前面介绍的滑动乘积求和（sumof-products process）的处理，而不必区分相关与卷积的区别，更合适的是，它通常用于表示相关与卷积两者操作之一，这一不太严密的术语很容易产生理解的歧义。

另外本文中介绍的一个函数与单位冲激的卷积，相当于在单位冲激位置复制该函数，这一特性将在大量的推导中扮演核心角色。

更多图像处理请参考专栏《OpenCV-Python图形图像处理》及《图像处理基础知识》的介绍。

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