一、关系数据理论
1.关系模式的形式化定义
R(U, D, DOM, F)
R:关系名，是符号化的元组语义
U:该关系的属性集合
D:属性组U中属性所来自的域
DOM:属性向域的映象集合
F:属性间数据的依赖关系集合
2.关系模式的简化表示
R
将关系模式简化为一个三元组，影响数据库模式设计的主要是U和F.
当且仅当U上的一个关系r满足F时，r称为关系模式R(U, F)的一个关系。
3.如何解决关系模式中存在的问题?
规范化理论：找出关系模式中不合适的数据依赖，消除它们，可以在不同程度上解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。
二、函数依赖
1.函数依赖
*定义：设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。若对于R(U)的任意一个可能的关系r, r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等， 而在Y上的属性值不等则称“X函数确定Y”或“Y函数依赖于X”，记作X →Y。
X称为这个函数依赖的决定属性组，也称为决定因素(Determinant)。
例: S(Sno, Sname, Ssex, Sage, Sdept)
F= {Sno-→Sname, Sno →Ssex, Sno →Sage，Sno →Sdept}
若Y不函数依赖于X,则记为X→Y，箭头上加一斜杠。
*注意事项
(1)函数依赖是语义范畴的概念。只能根据数据的语义来确定函数依赖。
■如Sname→Sno函数依赖只有在“学生不允许有重名”的条件下成立。
(2)数据库设计者可以对现实世界作强制的规定。
■例如设计者可以强行规定不允许学生有重名，因而使函数依赖
Sname→Sno, Sname→Ssex，Sname→Sage, Sname→Sdept成立。
(3)函数依赖是指关系模式R在任何时刻的关系实例均要满足的约束条件。
■不是指某个或某些关系实例r满足的约束条件，而是指R的所有关系实例r均要满足的约束条件。
2.平凡函数依赖与非平凡函数依赖
(1) X→Y，Y不包含于X，则称X→Y是非平凡的函数依赖。
(2) X→Y，但Y包含于X，则称X→Y是平凡的函数依赖。
例:在关系SC(Sno, Cno, Grade)中，
非平凡函数依赖： (Sno, Cno)→Grade
平凡函数依赖：
(Sno, Cno) →Sno (Sno, Cno)→Cno
对于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义，因此若不特别声明，我们总是讨论非平凡函数依赖。
3.完全函数依赖与部分函数依赖
(1)在关系模式R(U)中，如果X→Y,并且对于X的任何一个真子集X'，都有X'→Y,则称Y完全函数依赖于X，记作X→Y，箭头上加F(Full)。
(2)若X→Y,但Y不完全函数依赖于X，则称Y部分函数依赖于X，记作X→Y，箭头上加P(Part)。
在关系STUDENT(Sno ,Sdept,Mname,Cno,Grade)中，
(Sno, Cno)→(F) Grade是完全函数依赖
(Sno, Cno)→ (P)Sdept是部分函数依赖，因为Sno→ Sdept
4.传递函数依赖
(1)定义：在R (U)中，如果X→Y, (Y 不包含于X) , Y不依赖于X，Y→Z, 则称Z对X传递函数依赖(transitive functional dependency)。记为：X→(传递)Z
注意：如果Y→X,即X←→Y,则Z直接依赖于X。
例：在关系STUDENT (Sno ,Sdept, Mname,Cno,Grade)中，
Sno→Sdept, Sdept→Mname, Sno→(传递)Mname
三、码
1. 设K为关系模式R
■如果U部分函数依赖于K,即K →(P) U，则K称为超码(Surpkey)
■候选码是最小的超码，即K的任意一个真子集都不是候选码
[例] S(Sno, Sdept, Sage)
Sno→ (Sno, Sdept, Sage) ，Sno是码
(Sno, Sdept)、(Sno, Sage)、(Sno, Sdept, Sage)是超码
SC(Sno, Cno, Grade)中，(Sno, Cno)是码
2. 若关系模式R有多个候选码，则选定其中的一个做为主码(Primary key)。
[例] S(Sno, Sname, Sdept, Sage)，假设学生无重名
Sno、Sname是候选码，选择Sno为主码。
3. 主属性与非主属性
■包含在任何一个候选码中 的属性，称为主属性( Prime attribute )
■不包含在任何码中的属性称为非主属性( Nonprime attribute)或非码属性 ( Non-key attribute )
[例] S(Sno, Sdept, Sage), Sno是码，Sno是主属性，Sdept, Sage是非主属性。
SC(Sno, Cno, Grade)中，(Sno, Cno)是码，Sno, Cno是主属性，Grade是非主属性
4. 全码：整个属性组是码，称为全码(All-key)
[例]关系模式R(P,w,A) P:演奏者 W:作品 A:听众
语义:一个演奏者可以演奏多个作品，某作品可被多个演奏者演奏，听众可以欣赏不同演奏者的不同作品
R (P, W, A)码为(P, W, A)，即全码，All-Key。
关系模式R
SC (Sno, Cno, Grade) 中，Sno不是码，但Sno是关系模式
S (Sno, Sdept, Sage) 的码，则Sno是关系模式SC的外部码。
主码与外部码起提供了表示关系间联系的手段
四、范式
1.范式：是符合某一种级别的关系模式的集合。
(1)关系数据库中的关系必须满足一定的要求，满足不同程度要求的为不同范式。
(2)范式的种类：
第一范式(1NF)、第二范式(1NF)、第三范式(1NF)、BC范式、第四范式(1NF)、第五方式(1NF)。
(3)各范式之间的联系
某一关系模式R为第n范式，可简记为：R∈nNF
一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可转化为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程叫做规范化。
2.第一范式 ( 1NF )
(1)定义：如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，则R∈1NF。
第一范式是对关系模式的最起码的要求，不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据模式。
(2)满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式，比如：
关系模式S-L-C(Sno，Cno，Sdept，Sloc，Grade)，其属性依次为学生学号，学生课程号，学生所属系，学生住处，学生成绩。假设每个系的学生住在同一个楼。
那么有以下关系：
存在问题：插入异常，删除异常，数据冗余度大，修改复杂等。为了解决这些问题，需要将其转化为第二范式
3.第二范式(2NF)
(1)定义：关系模式R∈1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于R的码，则R∈2NF。
(2)举例：上述S-L-C(Sno，Cno，Sdept，Sloc，Grade)∈1NF，不属于2NF。
转化为第二范式：
由于关系模式SLC中，Sdept、Sloc部分函数依赖于码，SLC的码为(Sno，Cno)。
采用投影分解法，把SLC分解成两个关系模式，消除这些部分函数依赖。
关系模式SC的码为(Sno，Cno)，关系模式S-L的码为Sno。
转化后，非主属性对码都是完全函数依赖，且都是2NF。
4.第三范式(3NF)
(1)定义：关系模式R
(2)上述例子，关系模式S-L中，不存在部分函数依赖，但是存在传递函数，所以S-L(Sno，Sdept，Sloc)∈2NF，不属于第三范式。
将其转化为第三范式，可得:
关系模式S-D(Sno，Sdept)，关系模式D-L(Sloc)
在分解后的关系模式中，既没有非主属性对码的部分函数依赖，也没有非主属性对码的传递函数依赖，进一步解决了存在的插入，删除，更新异常，数据冗余度大等问题。