蓝桥杯 历届真题 包子凑数

包子凑数

【题目描述】

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。
每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。
当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。
小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入
----
第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)  

输出
----
一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

例如，
输入：
2  
4  
5   

程序应该输出：
6  

再例如，
输入：
2  
4  
6    

程序应该输出：
INF

样例解释：
对于样例1，凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。  
对于样例2，所有奇数都凑不出来，所以有无限多个。  



资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗  < 1000ms


请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

解法一

【思路】

研究当N=2时，假设两个数为a、b
1、任意两个数的组合必定是其公约数的倍数。假设 d = gcd(a,b)，则由a、b凑成的数必定是 d的倍数。
2、如果d = gcd(a,b) > 1,那么由第1条可得，所有非d倍数的数都不能凑出来。也就是 存在无穷多个无法凑出来的数。
3、如果d = 1即a、b互质，那么由裴蜀定理，最大的无法凑成的数上限为 (a- 1)*(b - 1) - 1。
在 买不到的数目 题中我们研究的是两个数时最大不能凑到的数是多少，而本题是多个数。
推理到N个数，虽然无法精确的表示最大的无法凑成的数上限。但是多增加的数使得数的选择上有更多的可能，对凑数是有帮助的，所以是起到缩小上限的作用的。本题而言，如果说100∗99−100−99=9701以内的数都能凑到，那么所有数都能凑成。

那么本题就转化为了一道完全背包问题：即有N个物品，每个物品无限个，每个物品可以选任意个，9701能否都凑到。

import java.util.Scanner;

class Main{
    static int N = 10010;
    static int a[] = new int[110];
    static boolean f[][] = new boolean [110][N];
    //欧几里得算法：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。当余数为0时，当前算式的除数就是a和b的gcd。
    public static int gcd(int a, int b){
        if( b == 0) return a;
        return gcd( b, a % b );
    }
    public static void main(String args[]){

        Scanner reader = new Scanner(System.in);
        int n = reader.nextInt();
        for(int i = 1; i <= n; i ++) a[i] = reader.nextInt();
        int d = 0; // 公约数
        
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            d = gcd(a[i], d);  //gcd(2,0) = 2
        if( d != 1) System.out.println("INF");
        else{
            f[0][0] = true;
            for(int i = 1; i <= n; i ++)
                for(int j = 0; j < N; j ++){
                    f[i][j] |= f[i - 1][j];
                    if( j >= a[i]) f[i][j] |= f[i][j - a[i]];
                }
            int res = 0;
            for(int i = 1; i < N; i ++)
                if( ! f[n][i] ) res ++;
            System.out.println(res);
            
            
        }
    }
}

解法二

【思路】
这简直就是道数学题
本质是判断 方程ax+ a1x1+……+anxn=c（a为每笼包子个数）
有无解 无解即为INF 有解输出个数
根据欧几里得定理：
ax+by=c
1、若a，b互质 则x，y一定有解且有无穷多个解
若要使解x,y>=0，则使得ax+by=c无解（也就是存在c凑不出来）c的范围时ab-a-b

2、若a、b不互质 则不能保证有解 也就是存在无限多个c凑不出来（有解的充分必要条件是：c%gcd(a,b)==0）

package 第八届;

import java.util.Scanner;

/**
* @author JohnnyLin
* @version Creation Time：2020年5月24日 下午10:10:39
*/
public class t08_包子凑数 {
	static int n,g;
	static int a[]=new int[101];
	static boolean[] dp=new boolean[10000];
	public static void main(String[] args) {
		Scanner reader=new Scanner(System.in);
		n=reader.nextInt();
		//注意0 这数目时可以凑得的
		dp[0]=true;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			a[i]=reader.nextInt();
			
			if(i==1) g=a[i];//初始化最大公约数
			else g=gcd(a[i],g);
			//新增a[i]这个笼子 在原先可以凑得的数目上a[i]这些数目都可以凑到
			for(int j=0;j<10000-a[i];j++) {
				if(dp[j]) dp[j+a[i]]=true;
			}
		}
		if(g!=1) {
			System.out.println("INF");
			System.exit(0);
		}
		int ans=0;
		for(int j=0;j<10000;j++) {
			if(!dp[j]) {
				ans++;
			}
		}
		System.out.println(ans);

	}
	/**
	 * @param a
	 * @param b
	 * @return
	 * gcd(4,6)==2
	 * gcd(3,4)==1
	 */
	private static int gcd(int a, int b) {
		//辗转相除
		if(b==0)return a;
		return gcd(b,a%b);
	}

}