Leetcode29. 两数相除

一、题目描述：

给你两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求 不使用 乘法、除法和取余运算。

整数除法应该向零截断，也就是截去（truncate）其小数部分。例如，8.345 将被截断为 8 ，-2.7335 将被截断至 -2 。

返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的 商 。

注意：假设我们的环境只能存储 32 位 有符号整数，其数值范围是 $[-2^{31},2^{31-1}]$ 。本题中，如果商 严格大于 $2^{31-1}$ ，则返回 $2^{31-1}$ ；如果商 严格小于 $-2^{31}$ ，则返回 $-2^{31}$ 。

1. 示例 1：
   • 输入：dividend = 10, divisor = 3
   • 输出：3
   • 解释：10/3 = 3.33333… ，向零截断后得到 3 。
2. 示例 2：
   • 输入：dividend = 7, divisor = -3
   • 输出：-2
   • 解释：7/-3 = -2.33333… ，向零截断后得到 -2 。

• 提示：
  • $-2^{31}\le dividend,divisor\le 2^{31-1}$
  • divisor != 0

二、解决思路和代码

1. 解决思路

• 分析：通过移位操作实现，需要一点计算机组成原理或数据结构的知识
  • 这里，先了解两个符号的含义（以正数为例，负数比较复杂）：
    • $>>$ : 左移符号。$n>>m=n//2^m$
      • 比如：$4>>1=4//2^1=2$
      • 4 用二进制表示：0100，左移一位是 0010，结果是数字 2
    • $<<$ : 右移符号。$n<<m=n\ast 2^m$
      • 比如：$4<<1=4\ast 2^1=8$
      • 4 用二进制表示：0100，右移一位是 1000，结果是数字 8
  • 言归正传，下面通过移位操作实现除法运算
    • 为什么可以通过移位操作来实现本题中的整数除法运算？
      • 答案：因为所有的整数都可以用二进制表示。比如：
        • $10=1010=2^3+2^1$
        • $3=0011=2^1+2^0$
      • 整数除法向0截断：$10/3=3$，那么
        • $10=3\ast x$
        • $10=3\ast (2^1+2^0)=3\ast 2^1+3\ast 2^0$

2. 代码

    class Solution:
    def divide(self, dividend: int, divisor: int) -> int:
        ## 确定符号和数值边界
        if dividend<0 and divisor<0 or dividend>0 and divisor>0:
            boundy = (1<<31)-1
            symbol = 1
        else:
            boundy = -(1<<31)
            symbol = -1
        if dividend==0: return 0
        a, b, i = abs(dividend), abs(divisor), 31
        res = 0
        while i >= 0:
            if (a>>i)>=b:
                res += (1<<i)
                a -= (b<<i)
            i -= 1
        return min(res,boundy) if symbol==1 else max(-res,boundy)