为什么非零实对称矩阵一定是正定矩阵

从酉相似的角度证明实对称矩阵一定可以对角化，对角化之后对应的二次型一定大于0，因此实对称矩阵一定是正定矩阵。
第一张图说明了一个方阵A必定酉相似于一个上三角矩阵T，T的对角线元素就是A的特征值。且这里可以无论特征值重复与否。

第二张图证明了对于正规矩阵（就是AA=AA,*表示共轭转置）的矩阵来讲，A必定可以酉对角化。

在第一张图中，如果限定实数矩阵范围，同样也成立，其实也就是矩阵化为行阶梯矩阵的高级表达。
在第二张图中，如果A是正规矩阵（实对称矩阵是正规矩阵的一种），则其相似的上三角矩阵也是正规矩阵，上三角矩阵是正规矩阵，则这个上三角矩阵就是一个对角矩阵（见铅字笔记）。

开始写了一大段发现自己不能给出实对称矩阵的代数重数为k的特征值对应有k个线性无关的特征向量的证明，不过写了好大一段不想删了，将就看吧。

一、实对称矩阵一定可以对角化

1.1 构造性证明与非构造性证明

数学证明方法可以分为构造性证明和非构造性证明，对于某个证明命题“存在$x$，使得命题$F(x)$成立”，构造性证明是提出一种如何构造$x$的方法，即遵循该方法，一定可以找到一个$x$满足命题$F(x)$，而非构造性证明，则从逻辑上证明$x$一定存在，至于如何得到$x$则不再关心。

1.2 什么是对角化

对于实对称矩阵一定可以对角化这一命题，我们可以采用构造性证明的方法。
首先说明什么是对角化，对于矩阵$A$，如果存在可逆矩阵，满足$P^{-1}AP=\Lambda$，其中$\Lambda$是对角矩阵，将$A$变换得到对角矩阵$\Lambda$这一过程就叫做对角化。满足$P^{-1}AP=\Lambda$条件的$A$和$\Lambda$矩阵其实就是满足$A$和$\Lambda$相似，只不过现在与A相似的$\Lambda$是对角矩阵。

1.3 如何对角化一个对称矩阵

从1.2可以知道，将$A$对角化就是需要找到一个可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$。如果我们可以找到一种对所有对称矩阵通用的方法来找到可逆矩阵P，其实也就证明了所有实对称矩阵可以相似对角化。
我们只讨论其特征方程$|A-\lambda E|=0$的情况，因为在$|A-\lambda E|\ne 0$的情况下，不能进行对角化操作，见3.1
从3.1的推导中其实已经可以找到如何构造$P$，就是将$P$写成列向量分块矩阵。然后可以发现，求列向量$co{l}_i$和对角矩阵对角元的过程就是求解矩阵A的特征向量和特征值的过程。也就是说，将$A$的特征向量作为$P$的列向量，其实就可以构造出$P$，但是$P$需要满足可逆这一条件，也就是说$P$的列向量需要线性无关。

定理1 设${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_m$是方阵A的$m$个特征值，$p_1,p_2,...,p_m$依次是与之对应的特征向量，如果${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_m$ 各不相等，则$p_1,p_2,...,p_m$线性无关，证明见3.2

定理二 设${\lambda }_k$是对称矩阵$A$的$k$重特征值，那么一定可以找到$k$个对应于特征值${\lambda }_k$的线性无关的特征向量证明见3.3

从定理一和定理二可以知道，对于对称矩阵，我们可以找出$n$个线性无关的特征向量来构造$P$。因为对应于不同特征值的特征向量线性无关，对应于同一特征值的特征向量可以得到对应重数个线性无关向量。因此总共有$n$个线性无关的特征向量用于构造矩阵$P$。最后将$A$进行对角化。

二、实对称矩阵一定是正定矩阵

从前面我们可以知道实对称矩阵可以通过构造可逆矩阵P进行对角化，但是实对称矩阵

三、后注

3.1 特征方程只有零解的情况无法对角化

$|A-\lambda E|=0$，也即(A-λE)x=0这一齐次方程只有零解（翻一翻线性代数书中齐次线性方程组零解非零解的条件，题外话：也就意味着矩阵A对于任何向量x进行变换都会改变其方向，从这个意义上来说，这个矩阵就不存在特征向量和特征值，因为特征向量的几何意义就是经过这个矩阵变换不改变方向的向量，零向量不存在方向，因此对于此类矩阵讲特征值和特征向量是没有意义的）。将前面的相似对角化矩阵$P^{-1}AP=\Lambda$可以变换成$AP=P\Lambda$，将P写成列向量组合成的分块矩阵形式，\Lambda写成元素组合形式得到：
$$A[co{l}_1,co{l}_2,...,co{l}_n]=[co{l}_1,co{l}_2,...,co{l}_n]\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$
$$$[Aco{l}_1,Aco{l}_2,...,Aco{l}_n]=[{\lambda }_{1}co{l}_1,{\lambda }_{2}co{l}_2,...,{\lambda }_{n}co{l}_n]$
即有$Aco{l}_i={\lambda }_{i}co{l}_i$，由于$A$不存在特征值和特征向量，对于$Aco{l}_i={\lambda }_{i}co{l}_i$只有零解，因此$co{l}_i=0$零向量。因此P为零矩阵。而零矩阵不存在逆矩阵，与前面的逆矩阵使用矛盾，因此当矩阵A的特征方程只有零解时，不能进行对角化。

3.2 定理一的证明

定理1 设${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_m$是方阵A的$m$个特征值，$p_1,p_2,...,p_m$依次是与之对应的特征向量，如果${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_m$ 各不相等，则$p_1,p_2,...,p_m$线性无关，证明见3.2
证明出处见同济大学出版的工程数学线性代数第六版P123

3.3 定理二的证明

定理二 设${\lambda }_k$是对称矩阵$A$的$k$重特征值，那么对应于${\lambda }_k$的特征向量构成的向量组的秩为$k$证明见3.3