高中奥数 2021-10-18

2021-10-18-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P077 习题08）

设、、为的三条边,,和分别为的外接圆半径和内切圆半径.令,试用角的大小来判定的符号.

解

用、、分别表示的三个内角.

熟知,,.

于是

$\begin{aligned} f&=2R\left(\sin A+\sin B-1-4\sin\dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\right)\\ &=2R\left[2\sin \dfrac{B+A}{2}\cdot \cos \dfrac{B-A}{2}-1+2\left(\cos \dfrac{B+A}{2}-\dfrac{B-A}{2}\right)\sin \dfrac{C}{2}\right]\\ &=4R\cos \dfrac{B-A}{2}\left(\sin \dfrac{B+A}{2}- \sin \dfrac{C}{2}\right)-2R+4R\cos \dfrac{\pi -C}{2}\sin\dfrac{C}{2}\\ &=4R\cos \dfrac{B-A}{2}\left(\sin \dfrac{\pi-C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)-2R+4R\sin ^{2}\dfrac{C}{2}\\ &=4R\cos \dfrac{B-A}{2}\left(\cos \dfrac{C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)-2R\left(\cos ^{2}\dfrac{C}{2}-\sin ^{2}\dfrac{C}{2}\right)\\ &=2R\left(\cos \dfrac{C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)\left(2\cos \dfrac{B-A}{2}-\cos \dfrac{C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right).\end{aligned}$

令,所以.

,因此,.

所以.

则;;.

2021-10-18-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P077 习题09）

设锐角的外心为,从作的高,垂足为,且证明:.

证明

如图,延长、、分别交于、、,连结、.

图1

则.

故.

设的半径为.

因为CP=,,所以

$\begin{aligned}&\sin B\cdot \sin C\cdot \cos \left(C-B\right)\\=&4R^{2}\left[\sin ^{2}B\cdot \sin ^{2}C+\dfrac{1}{4}-\sin ^{2}B\cdot \sin ^{2}C-\sin B\cdot \cos B\sin C\cdot \cos C\right]\\=&4R^{2}\left(\dfrac{1}{4}-\sin B\cdot \cos B\cdot \sin C\cdot \cos C\right).\end{aligned}$

所以
$\begin{aligned} OP^{2}-CP^{2}&=4R^{2}\left[\dfrac{1}{4}-\sin B\cdot \cos C\cdot \sin \left(B+C\right)\right]\\&=4R^{2}\left[ \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\sin ^{2}A+\dfrac{1}{2}\sin A\cdot \sin \left(C-B\right)\right]. \end{aligned}$

因为,且、都为锐角,所以上式.

所以,.

有.

故.

2021-10-18-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P077 习题10）

圆内切于四边形,是圆的圆心,且有.证明:四边形是等腰梯形.

证明

如图,设角,由已知 $\left(\dfrac{r}{\sin \alpha}+\dfrac{r}{\sin \theta}\right)^{2}+\left(\dfrac{r}{\sin \beta}+\dfrac{r}{\sin \gamma}\right)^{2}=\left(r\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+r\dfrac{\cos \beta}{\sin \beta}+r\dfrac{\cos \gamma}{\sin \gamma}+r\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2}$ ,

图2

所以 $\begin{aligned}&\left(\dfrac{1}{\sin \alpha}+\dfrac{1}{\sin \theta}\right)^{2}-\left(\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{\sin \beta}+\dfrac{1}{\sin \gamma}\right)^{2}- \left(\dfrac{\cos \beta}{\sin \beta}+\dfrac{\cos\gamma}{\sin\gamma}\right)^{2}\\=&2\left(\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)\left(\dfrac{\cos \beta}{\sin \beta}+\dfrac{\cos \gamma}{\sin \gamma}\right)\end{aligned}$ ,

化简得.

$\begin{aligned} &\left[\cos\left(\beta-\gamma\right)-\cos\left(\beta+\gamma\right)\right]\left[1+\cos\left(\beta+\gamma\right)\right]+\left[\cos\left(\alpha-\theta\right)-\cos\left(\alpha+\theta\right)\right]\cdot\left[1+\cos\left(\alpha+\theta\right)\right]\\=&2\sin\left(\alpha+\theta\right)\sin\left(\beta+\gamma\right) \end{aligned}$ (1)

因为,

所以(1)式可化简为.

所以.

所以,.

故为等腰梯形.

高中奥数 2021-10-18

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