实验6 图像压缩

本次实验大部分素材来源于山大王成优老师的讲义以及冈萨雷斯（MATLAB版），仅作个人学习笔记使用，禁止用作商业目的。

一、实验目的

1. 掌握 DCT 变换的基图像画法。
2. 掌握 JPEG 压缩的整体框架及其实现程序。
3. 掌握比特平面编码方法。

二、实验例题

1. 二维离散余弦变换(Discrete Cosine Transform, DCT)的基图像

$$\mathbf{C}(i,j)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{\frac{1}{N}},& i=0,j=0,1,\cdots ,N-1,\\ \sqrt{\frac{2}{N}}\cos \frac{i(2j+1)\pi }{2N},& i=1,2,\cdots ,N-1,j=0,1,\cdots ,N-1.\end{array}$$
C = [ β 0 T β 1 T ⋮ β N − 1 T ] = [ β 0 , 0 β 0 , 1 ⋯ β 0 , N − 1 β 1 , 0 β 1 , 1 ⋯ β 1 , N − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ β N − 1 , 0 β N − 1 , 1 ⋯ β N − 1 , N − 1 ] \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{\beta}_{0}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\beta}_{1}^{\mathrm{T}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{\beta}_{N-1}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} \beta_{0,0} & \beta_{0,1} & \cdots & \beta_{0,N-1} \\ \beta_{1,0} & \beta_{1,1} & \cdots & \beta_{1,N-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \beta_{N-1,0} & \beta_{N-1,1} & \cdots & \beta_{N-1,N-1} \end{array}\right] C= ​β0T​β1T​⋮βN−1T​​ ​= ​β0,0​β1,0​⋮βN−1,0​​β0,1​β1,1​⋮βN−1,1​​⋯⋯⋱⋯​β0,N−1​β1,N−1​⋮βN−1,N−1​​ ​

Y = C X C T = [ β 0 T β 1 T ⋮ β N − 1 T ] X [ β 0 , β 1 , ⋯   , β N − 1 ] \boldsymbol{Y}=\boldsymbol{C X C}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{\beta}_{0}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\beta}_{1}^{\mathrm{T}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{\beta}_{N-1}^{\mathrm{T}} \end{array}\right] \boldsymbol{X}\left[\boldsymbol{\beta}_{0}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{N-1}\right] Y=CXCT= ​β0T​β1T​⋮βN−1T​​ ​X[β0​,β1​,⋯,βN−1​]

式写成分量形式为
$$y(i,j)=\sum _{r=0}^{N-1}\sum _{k=0}^{N-1}{\beta }_{i,r}{\beta }_{j,k}x(r,k)=\sum _{r=0}^{N-1}\sum _{k=0}^{N-1}{B}_{i,j}(r,k)x(r,k)$$

上面的推导可能一下子想不明白，我们可以依次进行，先求得$\mathbf{X}\left[{\mathbf{\beta }}_0,{\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_{N-1}\right]$的这个 $N\times N$ 矩阵中第 j 列的值。

设 $z(r,j)$ 为 $\mathbf{X}\left[{\mathbf{\beta }}_0,{\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_{N-1}\right]$ 第 r 行，第 j 列的值。

Z = [ x ( 0 , 0 ) x ( 0 , 1 ) ⋯ x ( 0 , k ) ⋯ x ( 0 , N − 1 ) x ( 1 , 0 ) x ( 1 , 1 ) ⋯ x ( 1 , k ) ⋯ x ( 1 , N − 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ x ( r , 0 ) x ( r , 1 ) ⋯ x ( r , k ) ⋯ x ( r , N − 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ x ( N − 1 , 0 ) x ( N − 1 , 1 ) ⋯ x ( N − 1 , k ) ⋯ x ( N − 1 , N − 1 ) ] [ β 0 , 0 β 1 , 0 ⋯ β j , 0 ⋯ β 0 , N − 1 β 0 , 1 β 1 , 1 ⋯ β j , 1 ⋯ β 1 , N − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ β 0 , N − 1 β 1 , N − 1 ⋯ β j , N − 1 ⋯ β N − 1 , N − 1 ] \boldsymbol Z=\left[\begin{array}{cccc} x(0,0) & x(0,1)& \cdots & x(0,k) & \cdots & x(0,N-1) \\ x(1,0) & x(1,1) & \cdots & x(1,k) & \cdots & x(1,N-1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x(r,0) & x(r,1) & \cdots & x(r,k) & \cdots & x(r,N-1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x(N-1,0) & x(N-1,1) & \cdots & x(N-1,k) &\cdots & x(N-1,N-1) \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} \beta_{0,0} & \beta_{1,0} & \cdots & \beta_{j,0} & \cdots & \beta_{0,N-1} \\ \beta_{0,1} & \beta_{1,1} & \cdots & \beta_{j,1} & \cdots & \beta_{1,N-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \beta_{0,N-1} & \beta_{1,N-1} & \cdots & \beta_{j,N-1} &\cdots & \beta_{N-1,N-1} \end{array}\right] Z= ​x(0,0)x(1,0)⋮x(r,0)⋮x(N−1,0)​x(0,1)x(1,1)⋮x(r,1)⋮x(N−1,1)​⋯⋯⋱⋯⋱⋯​x(0,k)x(1,k)⋮x(r,k)⋮x(N−1,k)​⋯⋯⋱⋯⋱⋯​x(0,N−1)x(1,N−1)⋮x(r,N−1)⋮x(N−1,N−1)​ ​ ​β0,0​β0,1​⋮β0,N−1​​β1,0​β1,1​⋮β1,N−1​​⋯⋯⋱⋯​βj,0​βj,1​⋮βj,N−1​​⋯⋯⋱⋯​β0,N−1​β1,N−1​⋮βN−1,N−1​​ ​

$$z(r,j)=\sum _{k=0}^{N-1}x(r,k){\beta }_{j,k}$$

$$\begin{array}{rl}y(i,j)& =\sum _{r=0}^{N-1}{\beta }_{i,r}z(r,j)\\ & =\sum _{r=0}^{N-1}{\beta }_{i,r}\left(\sum _{k=0}^{N-1}x(r,k){\beta }_{j,k}\right)\\ & =\sum _{r=0}^{N-1}\sum _{k=0}^{N-1}{\beta }_{i,r}{\beta }_{j,k}x(r,k)\\ & =\sum _{r=0}^{N-1}\sum _{k=0}^{N-1}{B}_{i,j}(r,k)x(r,k)\end{array}$$

其中，$C$ 的行向量的外积展开 ${\mathbf{B}}_{i,j}={\mathbf{\beta }}_i{\mathbf{\beta }}_j^{\mathrm{T}}$ 称为分解基图像。

者使用 MATLAB 函数 dctmtx 可得到 DCT 变
换矩阵，其一般语法为：
D = dctmtx (N);
其中，D 是 $N\times N$大小的 DCT 变换矩阵。

例 1 请画出 $N=4$ 时 DCT 变换的基图像。

close all; clear all; clc;
A = dctmtx(4);
B = A';
C = zeros(4, 4, 16);
m = 0;
for i = 1:4
    for j = 1:4
        m = m+1;
        C(:, :, m) = B(:, i)*A(j, :);
    end
end
minvalue = min(min(min(C)));
maxvalue = max(max(max(C)));
figure,
for k = 1:16
    subplot(4, 4, k), imshow(C(:, :, k), [minvalue, maxvalue]);
end

ctrl+all 然后 ctrl+i 就可以格式化所有代码

2. JPEG 压缩

目前，最流行且最全面的连续色调静止图像压缩标准之一是 JPEG(JointPhotographic Experts Group，联合图像专家组)标准。在 JPEG 基准编码系统(该系统基于DCT变换，且对于大多数压缩应用来说是足够的)中，输入图像和输出图像均为8比特图像。基于 DCT 的 JPEG 标准的编解码框图如图所示。

编码器主要由 4 个部分组成：DCT 变换、量化、Zig-zag 扫描和熵编码。编码时，输入图像首先被分成 $8\times 8$的图像块，依次将每个图像块经过 DCT 变换为 64 个 DCT 系数，其中，最左上角的一个为直流系数(Direct Current, DC)，另外的 63 个系数称为交流系数(Alternating Current, AC)。量化后，对每个块的 DC 系数进行差分脉冲调制编码(Differential Pulse Code Modulation, DPCM)；其余 63 个 AC 系数经过 Zig-zag 扫描转变为一维序列，进行游程编码(Run Length Coding, RLC)，然后再对 DC 系数的差值和 AC 系数游程编码的码字进行基于统计特性的 Huffman 熵编码。

源图像数据取样值为无符号整数，取值范围为 $[0,2^P-1]$，其中 P 称为样值精度。对基于 DCT 的压缩编码，JPEG 定义两种可选的样值精度为 8 比特和 12 比特，基本系统采用 8 比特精度。

2.1 DCT 和量化

图像样值在 DCT 变换前，首先进行电平平移，通过减去 $2^{P-1}$ 变为带符号整数。电平平移的目的是为了降低 DCT 运算时的内部精度要求。图像样值经电平平移后，再按图 2 所示的光栅扫描顺序依次对
$8\times 8$ 的数据块进行 DCT 变换。$8\times 8$ DCT 变换和反变换的数学公式分别如式(3)和式(4)所示。

$$F(u,v)=\frac{1}{4}C(u)C(v)\left[\sum _{i=0}^7\sum _{j=0}^{7}f(i,j)\cos \frac{(2i+1)u\pi }{16}\cos \frac{(2j+1)v\pi }{16}\right]$$

$$f(i,j)=\frac{1}{4}\left[\sum _{u=0}^7\sum _{v=0}^{7}C(u)C(v)F(u,v)\cos \frac{(2i+1)u\pi }{16}\cos \frac{(2j+1)v\pi }{16}\right]$$

其中, $i,j,u,v=0,1,\cdots ,7,C(u),C(v)=\{\begin{array}{ll}1/\sqrt{2},& u,v=0\\ 1,& \text{ 其它 }\end{array}\text{ 。 }$

量化过程是一个多对一的映射，因此该过程是有损压缩，它也是基于 DCT 的编码器信息损失的根源。量化定义为每一个 DCT 系数与它相对应的量化步长相除，并将所得的结果进行四舍五入取整。其公式为

$$F_{q_{uv}}=\left[\frac{F_{uv}}{Q_{uv}}\right]$$

其中，
$F_{uv}$ 和 $F_{q_{uv}}$ 分别为量化前和量化后的 DCT 系数；$Q_{uv}$ 为量化步长；$[\cdot ]$ 表示四舍五入取整。

这个量化表右下角的数值较高，哪里有人眼不擅长感知的高频数据。

JPEG 建议采用图 3 给出的亮度和色度量化表，表中给出的量化步长是根据大量的主观实验确定的。64 个变换系数经量化后，DCT 系数矩阵变得稀疏。左上角系数是直流分量(DC 系数)。由于相邻 $8\times 8$ 块之间的 DC 系数一般有很强的相关性，JPEG 并不直接对 DC 系数进行编码，而是采用 DPCM 编码，即对相邻两块 DC 系数的差值
$\mathrm{DIFF}={\mathrm{DC}}_i-{\mathrm{DC}}_{i-1}$ ( $i$ 为块号)进行编码，如图 4 所示。而大部分位于矩阵右下角的高频分量(AC 系数)被量化为零。如图 5 所示，JPEG 中采用 Z 字形(Zig-zag)扫描方式将已量化的二维 DCT 系数变为一维序列，对连零的游程(数目)长度进行游程编码以代替逐个地传送这些零值，进一步实现数据压缩。当剩下的所有系数都为零时，用符号 EOB(End of Block) 来表示。

2.2 熵编码

熵编码属于无损编码，其目的是根据量化后 DCT 系数的统计特性进一步对图像数据进行压缩。JPEG 标准中定义了两种熵编码方法，即 Huffman 编码和算术编码。其中，JPEG 基本系统只采用 Huffman 编码。

2.2.1 AC 系数的 Huffman 编码

对 AC 系数进行 Huffman 编码时，Z 字形序列中每个非零 AC 系数和它前面的零游程(RUNLENGTH)一起被描述为如下的符号对：

                      符号 A                                        符号 B

                   (RUNLENGTH)                               (AMPLITUDE)

其中，符号 A 中的 RUNLENGTH 表示 Z 字形序列中被编码的非零 AC 系数前面连续为零的 AC 系数的数目；符号 B 中的 AMPLITUDE 为该非零 AC 系数的幅值；符号 A 中的 SIZE 则给出了用于编码表示 AMPLITUDE 所需的比特数。但由于 RUNLENGTH 只用于表示 0~15之间的零游程，而 Z 字形序列中实际的零游程可能大于 15，为此，JPEG 采用值为 $(15,0)$ 的符号 A 来表示 RUNLENGTH＝16(ZRL)，在一个符号 A 前可以连续存在 3 个(15,0)这样的扩展符号，其后的符号 A 后面紧跟着一个符号 B。若最后的零游程包括尾块的 AC系数(即第 63 个 AC 系数)，此种情况下，采用值为(0,0)的符号 A 来表示块结束(EOB)。这样，每个 $8\times 8$ 的 Z 字形序列中的 63 个 AC 系数就被转换成符号对 A,B 的序列；在零游程较长的情况下，符号 A 会连续出现在序列中；在 EOB 情况下，则只出现符号 A，后面不再会有符号 B。

对于基本系统，量化后 AC 系数的动态范围为$[-2^{10},2^{10}-1]$。因此，SIZE 的取值为 0~10 之间的整数，可以用 4 位二进制数表示； RUNLENGTH 的取值为 0~15 之间的整数，也可以用 4 位二进制数表示。

是有问题的， AC 系数的动态范围为$[-2^{10},2^{10}-1]$，那么如果 SIZE 的取值为 0~10 之间，是没办法表示正负值的，必须要有符号位。可后文中又说 VLI 码的最高位是从右边数第 SIZE 个比特，同时 MATLAB 代码中注释是反码，这里又说是 AMPLITUDE-1，十分的混乱。

后来我终于明白了，确实是只用 SIZE 表示的 AC 信号的幅值。比如如果是 1 的话，AMPLITUDE 只会是 1；但如果是 -6，它会用 001 来表示，如下图。这样就不会发生表示上的混乱。深蓝色是最基本的行程编码(RLE)，灰色是中间形式，也就是我们这里所提到的符号 A 和符号 B 的符号对。

实际操作时，JPEG 用一个复合的 8 比特RS=“RRRRSSSS”来表示符号 A。对于一个特定的非零 AC 系数，RS 中的低位“SSSS”用于表示 SIZE，高位“RRRR”则用于表示 RUNLENGTH。若 Z 字形序列中最后部分全为零，则使用 EOB 来标识块结束(在解码端根据该标志用零补齐 64 个系数)。图 6 所示为符号 A 的组成结构，其中 RS=“11110000”表示 RUNLENGTH＝16，RS=“00000000”表示 EOB，N/A 为未定义项。

JPEG 根据 Huffman 码表对符号 A 进行相应的 Huffman 编码，如表 1；对符号 B 则根据表 2 进行变字长整数(VLI)编码，而后将符号 B 的 VLI 码附加在符号 A 的 Huffman 码后，从而形成符号对 A,B 的最终编码结果。

对符号 B 中的 AMPLITUDE 进行变字长整数编码时，若 AMPLITUDE>0，相应的 VLI 码为 AMPLITUDE 二进制表示的低 SIZE 比特；若 AMPLITUDE<0，相应的 VLI 码则为(AMPLITUDE-1)二进制表示的的低 SIZE 比特。VLI 码的最高位(即从右数第 SIZE 个比特)代表 AMPLITUDE 的符号：0 为负值，1 为正值。VLI 虽是变字长码，但它不是 Huffman 码，两者的重要区别是，Huffman 码的码长直到解码时才能确定，而 VLI 码的长度却是存放在它前面用以表示符号 A 的Huffman 码中(这里，VLI 码的长度等于符号 A 中的 SIZE)。系统解码过程中，VLI 码可以通过计算得到，而不用像 Huffman 表那样存储起来。

这里的低 SIZE 比特表示为 AMPLITUDE 二进制表示之后，只取符号 A 当中的 SIZE 比特的二进制数据。我同时有几点困惑：① VLI 码的最高位表示 AMPLITUDE 的符号，但是 0 表示为负值，1 为正值 ② SIZE 是表示 AMPLITUDE 的符号位数的，那包不包括 AMPLITUDE 的符号位？③ 低 SIZE 比特是什么意思？

① 这是的符号位与 JPEG 这里特殊的变长编码有关。


② SIZE 既是符号位，同时也有对应的数值。


③ 字面意义理解，就是二进制表示的低 SIZE 位。这里“若 AMPLITUDE<0，相应的 VLI 码则为(AMPLITUDE-1)二进制表示的的低 SIZE 比特”，主要是因为默认的二进制表示是补码的形式，AMPLITUDE-1 即为反码的表示形式。

例 2 图 7 给出了一幅 Lena 图像，请使用上述 DCT-JPEG 压缩系统对其进行压缩，并求压缩比特率。

close all;clear all;clc;
I=imread('Lena512.bmp');%%读bmp灰度图像
figure,imshow(I,[]);
Q=1;%%设定量化因子

OriginalImage=I;
OriginalImage=double(OriginalImage);%%图像数据类型转换
ImageSub=OriginalImage-128;%%电平平移128
[Row,Col]=size(OriginalImage);%%图像的大小
BlockNumber=Row*Col/64;%%8*8分块数

%% dct2变换：把ImageSub分成8*8像素块，分别进行dct2变换，得变换系数矩阵Coef
Coef=blkproc(ImageSub,[8,8],'dct2(x)');

%% 量化：用量化矩阵L量化Coef得CoefAfterQ
%% JPEG建议量化矩阵
L=Q*[16  11  10  16  24  40  51  61
     12  12  14  19  26  58  60  55
     14  13  16  24  40  57  69  56
     14  17  22  29  51  87  80  62
     18  22  37  56  68 109 103  77
     24  35  55  64  81 104 113  92
     49  64  78  87 103 121 120 101
     72  92  95  98 112 100 103  99]; 
CoefAfterQ=blkproc(Coef,[8,8],'round(x./P1)',L);%%向靠近的整数取整

%% 把CoefAfterQ分成8*8的块得分块矩阵CoefBlock
m=0;
for row=1:Row/8
    for col=1:Col/8
      m=m+1;
      CoefBlock(:,:,m)=CoefAfterQ(((row-1)*8+1):(row*8),((col-1)*8+1):(col*8));
    end
end
m;

%% 把量化后各个分块的DC系数存放到行矩阵DC中
DC(m)=0;
for i=1:m
    DC(i)=CoefBlock(1,1,i);
end
DC;

%% 求由各个DC系数的差值组成的行矩阵DCdif
DCdif(BlockNumber)=0;
DCdif(1)=DC(1);
for i=2:BlockNumber
    DCdif(i)=DC(i)-DC(i-1);
end
DCdif;

%% 用行矩阵DCdif中的差值替换原来系数矩阵CoefBlock中各个分块的DC系数
m=0;
for i=1:Row/8
    for j=1:Col/8
        m=m+1;
        CoefBlock(1,1,m)=DCdif(m);
    end
end
m;

%% 把分块矩阵CoefBlock放到变换系数大矩阵CoefDCchanged中
n=0;
for row=1:Row/8
    for col=1:Col/8
        n=n+1;
        CoefDCchanged(((row-1)*8+1):(row*8),((col-1)*8+1):(col*8))=CoefBlock(:,:,n);
   end
end
n;

%%**************************************************************************************************
%% 至此，完成了所有块中DC系数的替换（除第一个分块以外），为以后的DC系数差分编码做好了准备
%%**************************************************************************************************

%%*********************** the first--end blocks ************************

Coef=blkproc(ImageSub,[8,8],'dct2(x)');

这行代码使用了MATLAB的blkproc函数，对一个名为ImageSub的矩阵进行了处理，将其分成 $8\times 8$ 大小的块，然后对每个块应用了二维离散余弦变换（DCT），并将结果存储在名为Coef的新矩阵中。

具体而言，blkproc函数接受三个参数：输入矩阵、块大小以及应用于块的函数。在这里，ImageSub是输入矩阵，块大小为 $8\times 8$。'dct2(x)'是一个字符串参数，表示要应用的函数是二维离散余弦变换（DCT）函数。函数将以 $8\times 8$ 大小的块作为参数进行调用，最后返回 $8\times 8$ 的结果矩阵。

这个代码行的输出结果是一个与输入矩阵大小相同的矩阵Coef，其中每个 $8\times 8$ 的块被DCT变换后的系数所替代，用于表示该块的频域信息。

t=zigzag(k);

这行代码使用了一个名为zigzag的函数，它将一个矩阵（或向量）展开成一个一维向量，按照蛇形顺序（Zig-Zag）排列。k是输入矩阵或向量。

在MATLAB中，zigzag函数是自定义函数，需要提供该函数的定义或者该函数来自某个toolbox或其他来源。通常情况下，zigzag函数用于对离散余弦变换（DCT）或其他变换后的矩阵进行压缩和编码。

该行代码的输出结果是一个按照蛇形顺序排列的一维向量t，其中包含了输入矩阵或向量k的所有元素，但是以蛇形顺序排列。这个向量通常用于数据压缩和编码的目的。

function zigzaged=zigzag(block);

%%**********************************************************************%%
% % zigzaged=zigzag(block);
% % Input: block为8*8的矩阵
% % Output: zigzaged为按ZigZag顺序扫描后1*64的一维矩阵
% % 
% % 测试矩阵1,进行Zig-Zag扫描后的输出为zigzaged
% % block=[ 1  2  3  4  5  6  7  8;
% %     9 10 11 12 13 14 15 16;
% %     17 18 19 20 21 22 23 24;
% %     25 26 27 28 29 30 31 32;
% %     33 34 35 36 37 38 39 40;
% %     41 42 43 44 45 46 47 48;
% %     49 50 51 52 53 54 55 56;
% %     57 58 59 60 61 62 63 64 ];
% % zigzaged=[1,2,9,17,10,3,4,11,18,25,33,26,19,12,5,6,13,20,27,34,41,49,42,35,28,21,14,7,...
% %     8,15,22,29,36,43,50,57,58,51,44,37,30,23,16,24,31,38,45,52,59,60,53,46,39,32,...
% %     40,47,54,61,62,55,48,56,63,64];
%%**********************************************************************%%

% zigzaged=zigzag(reshape([1:64],8,8));

zzscan=[1,2,9,17,10,3,4,11,18,25,33,26,19,12,5,6,13,20,27,34,41,49,42,35,28,21,14,7,...
    8,15,22,29,36,43,50,57,58,51,44,37,30,23,16,24,31,38,45,52,59,60,53,46,39,32,...
    40,47,54,61,62,55,48,56,63,64];
block1d=reshape(block',1,64);
zigzaged=block1d(zzscan);

这段代码是一个MATLAB函数，函数名为zigzag。它的输入是一个8x8的矩阵block，输出是一个按照Zig-Zag顺序扫描后的1x64的一维矩阵zigzaged。

该函数的实现过程是先定义了一个Zig-Zag扫描的顺序zzscan，然后将输入矩阵block转置后展开成一个1x64的一维矩阵block1d，最后按照Zig-Zag顺序将block1d的元素放到zigzaged中。

2.2.2 DC 系数的 Huffman 编码

由于亮度分量和色度分量的统计特性不同，它们的 Huffman 编码表也不同。相邻两块 DC 系数的差值(DIFF)描述为如下的符号对：
                      符号 A                                        符号 B

                      (SIZE)                                     (AMPLITUDE)

其中，符号 B 的 AMPLITUDE 为 DIFF 的幅值；符号 A 中的 SIZE 则给出了用于编码表示 DIFF 所需的比特数。由于 DIFF 的动态范围为 $[-2^{11},2^{11}-1]$，因此 SIZE 的取值为 0~11之间的整数。类似于 AC 系数编码，JPEG 对符号 A 根据相应的 Huffman 码表进行变字长编码，如表 3 所示；对符号 B 则根据表 2 进行 VLI 编码，而后将符号 B 的 VLI 码附加在符号 A 的 Huffman 码后，从而完成对 DIFF 的熵编码。

function [bit_seq,len]=DCHuffmanEncoding(x)

%%****************************************************************
%% 对扫描后每块的DC系数差值进行Huffman编码
%% x为DC系数的差值
%%****************************************************************

%%*********************************** DC Huffman Code Look up *********************************%%
%% val为x的绝对值，即幅度大小
%% dccode为用十进制数表示的编码结果，codelen为编码后的码长
%% 若x > 0，则用其二进制原码表示，若x < 0，则用其二进制反码表示，amplen为表示幅度所需的bit数
%%*********************************************************************************************%%
v0=x;
val=abs(x);
if (val==0);amplen=1;codelen=2;dccode=0;%% dccode=00
elseif(val==1);amplen=1;codelen=3;dccode=2;%% dccode=010
elseif(val >=    2 & val <=    3);amplen= 2;codelen = 3;dccode=  3;  %% dccode=011;
elseif(val >=    4 & val <=    7);amplen= 3;codelen = 3;dccode=  4;  %% dccode=100;
elseif(val >=    8 & val <=   15);amplen= 4;codelen = 3;dccode=  5;  %% dccode=101;
elseif(val >=   16 & val <=   31);amplen= 5;codelen = 3;dccode=  6;  %% dccode=110;
elseif(val >=   32 & val <=   63);amplen= 6;codelen = 4;dccode= 14;  %% dccode=1110;
elseif(val >=   64 & val <=  127);amplen= 7;codelen = 5;dccode= 30;  %% dccode=1 1110;
elseif(val >=  128 & val <=  255);amplen= 8;codelen = 6;dccode= 62;  %% dccode=11 1110;
elseif(val >=  256 & val <=  511);amplen= 9;codelen = 7;dccode=126;  %% dccode=111 1110;
elseif(val >=  512 & val <= 1023);amplen=10;codelen = 8;dccode=254;  %% dccode=1111 1110;
elseif(val >= 1024 & val <= 2047);amplen=11;codelen = 9;dccode=510;  %% dccode=1 1111 1110;
end
if v0>0 ;bit_seq=[dec2bin(dccode,codelen),dec2bin(val,amplen)];
else  bit_seq=[dec2bin(dccode,codelen),dec2bin(bitcmp(val,'int16'),amplen)];
end
len = numel(bit_seq);

%% dec2bin()为十进制数到二进制数的转换，第一个参数是要转换的十进制数，
%% 第二个参数为转换后二进制码的位数（如果要求的位数大于直接转换后的位数，自动在前面补0）
%% bitcmp()取反码，第一个参数是要取反的二进数的十进制数表示，
%% 第二个参数指明对多少位的二进制数取反（如果要求的位数大于直接表示的二进制数的位数，自动在前面补0）
%% bitcmp()的结果为取反后的十进制数表示

dec2bin(dccode,codelen)

dec2bin(dccode,codelen) 是MATLAB的一个函数调用，用于将十进制整数 dccode 转换为 codelen 位的二进制字符串。其中，dccode 是需要转换的十进制整数，codelen 是期望输出的二进制字符串长度。函数返回一个字符串，表示 dccode 的二进制表示。如果二进制字符串的位数少于 codelen，则在字符串的左侧补 0 直至满足期望长度。

if v0>0 ;bit_seq=[dec2bin(dccode,codelen),dec2bin(val,amplen)];

例如，如果 dccode 的二进制编码是 “100”，val 的二进制编码是 “0101”，则 bit_seq 将是一个长度为 7 的字符向量，即 bit_seq = ['1000101']。

bitcmp(val,'int16')

bitcmp(val, 'int16')是一个MATLAB函数，用于将val的每个二进制位取反，并返回取反后的值。 ‘int16’ 是一个可选参数，表示将val转换为16位的有符号整数。如果省略此参数，则bitcmp默认使用class(val)的数据类型。

以下是一个例子：

x = 5; % 十进制整数5的二进制表示是101
y = bitcmp(x, 8); % 对5进行取反操作，由于5的二进制表示是101，所以取反之后的结果为010，将这个结果转换为十进制数值得到2

在这个例子中，变量 x 的值是十进制整数 5。当我们对 x 进行 bitcmp(x, 8) 操作时，函数将对 x 的二进制表示的每一位进行操作，对于二进制数值的每一位，取反之后得到的结果将作为新的数值的该位的值。由于 5 的二进制表示是 101，所以取反之后的结果是 010，这个结果对应的十进制整数是 2，所以最后变量 y 的值是 2。

直流系数差值编码规则是一种特殊的霍夫曼编码，用于对JPEG压缩图像的直流系数差值进行编码。以下是直流系数差值进行霍夫曼编码的规则：

1. 计算每个直流系数差值的幅值大小 val，即直流系数差值的绝对值。

2. 根据幅值大小 val 确定每个直流系数差值的霍夫曼编码值。这实际上是对 DC 系数的符号 A 进行编码。

• 若 val == 0，则编码值为 00。
• 若 val == 1，则编码值为 010。
• 若 2 <= val <= 3，则编码值为 011。
• 若 4 <= val <= 7，则编码值为 100。
• 若 8 <= val <= 15，则编码值为 101。
• 若 16 <= val <= 31，则编码值为 110。
• 若 32 <= val <= 63，则编码值为 1110。
• 若 64 <= val <= 127，则编码值为 1 1110。
• 若 128 <= val <= 255，则编码值为 11 1110。
• 若 256 <= val <= 511，则编码值为 111 1110。
• 若 512 <= val <= 1023，则编码值为 1111 1110。
• 若 1024 <= val <= 2047，则编码值为 1 1111 1110。

3. 对于直流系数差值为正数的情况，使用原码表示 B；对于直流系数差值为负数的情况，使用反码表示 B 的编码值。（通常这会导致正数以 1 开头，负数以 0 开头）

4. 将 SIZE 编码值和幅值 AMPLITUDE 分别写成二进制数，并将它们连接在一起，形成该直流系数差值的霍夫曼编码。编码 A 在前面，B 在后面。

实际上我就是对符号 A，也就是 SIZE 先进行了Huffman 编码，然后我再对符号 B，也就是 APMLITUDE 进行 VLI 编码。VLI 编码的含义就是，如果我 AMPLITUDE 在某个范围之内，我就用 SIZE 长度的二进制序列表示。合起来就是DC系数的 Huffman 编码。

3. 比特平面编码

一幅 m 比特单色图像的灰度，可以用如式(6)所示的基 2 多项式来表示：
$$a_{m-1}{2}^{m-1}+a_{m-2}{2}^{m-2}+\cdots +a_1{2}^1+a_0{2}^0\text{\hspace{1em}(6)}$$
基于这种特性，将该图像分解为二值图像集的一种简单方法是，把该多项式的 m 个系数分离为 m 个 1 比特的比特平面。结合教材 P70-71 理解。最低阶比特平面(对应最低阶比特的平面)是通过收集每个像素的 $a_0$ 比特生成的，而最高阶比特平面包含 $a_{m-1}$ 比特或系数。

这种分解方法的固有缺点是，灰度的较小变化会对比特平面的复杂性产生明显影响。例如，若一个灰度为 127(01111111) 的像素与一个灰度为 128(10000000) 的像素相邻，每个比特平面将包含一个对应 0 到 1(或 1 到 0)的转换。

一种替代分解方法(降低较小灰度变化带来的影响)是，首先用一个 $m$ 比特格雷码表示图像。对应于式$(6)$中多项式的 $m$ 比特格雷编码 $g_{m-1}\cdots g_2{g}_1{g}_0$ 可由式 $(7)$ 计算得到：

$$\begin{array}{l}{g}_i=a_i\oplus a_{i+1},0\le i\le m-2\\ g_{m-1}=a_{m-1}\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中，$\oplus$ 表示异或运算。这种编码的唯一特性是连续码字只有 1 比特位不同。因此，较小的灰度变化不太能影响所有 $m$ 个比特平面。例如，当灰度级 127 和 128 相邻时，只有最高阶比特平面包含有一个 0 到 1 的转换，因为对应于 127 和 128 的格雷码分别是
01000000 和 11000000。

使用函数 bitget 可获得指定数据位的值，其一般语法为：
C = bitget(A, BIT);

其中，A 为有符号或无符号的整数阵列，bitget 先将 A 转化成二进制序列，然后从右往左取第 BIT 位的值。

使用函数 bitxor 可实现数据位异或运算，其一般语法为：
C = bitxor(A, B);

其中，A 和 B 是有符号或无符号的整型数组，C 为返回的 A 和 B 按位异或的结果