哈工大近世代数期末复习

近世代数是抽象代数的一个分支,是计算机科学和人工智能大数据的基础. 

本文内容有点长,大家可以通过index来跳转到想要看的章节,第十章的总结在我的主页里下载

1.代数系 

半群:满足结合律的代数系

交换半群:满足交换律的半群

群：判定方法有两种

method1

1. 有单位元
2. 有逆元
3. 运算满足结合律

method2：

1. 运算满足结合律
2. 运算满足左右消去律

交换群(Abel群)：

定义:满足交换律的群

应用:    后面讲环的时候会用到Abel群,判定一个代数系(R,+,◦)是环:

1. ( R, +)为一个 Abel群：
2. ( R, ◦)为一个半群； ∀ a, b, c ∈ R( a ◦ b) ◦ c = a ◦ ( b ◦ c）
3. 乘法对加法满足左、右分配律： ∀ a, b, c ∈ R

          a ◦ ( b + c) = ( a ◦ b) + ( a ◦ c)

          ( b + c) ◦ a = ( b ◦ a) + ( c ◦ a)

   交换群可以衍生出很多好的性质

2.群的简单性质

群满足消去律

练习1答案方法的解释

 有限群的每个元素的阶不超过该有限群的阶。

 根据群的阶判断元素的阶

练习6注释:根据练习4 5得到：阶大于2的元素成对出现则 |G| = 2n= 2k+l+1得到l是奇数 、

练习六也就是说偶数阶群2n一定存在一个阶为2的元素,也就是说一定存在n阶商群(后面会提到)

证明：一/二/三/四/五阶群是交换群

如何证明 五阶一下的群都是交换群 (利用后面的拉格朗日的定理 干掉前四个)

 如何证明六阶群中 肯定存在一个三阶子群

 3.子群 生成子群

子群

H是G的子群要满足三个条件

1. H元素非空
2. H中对于G中的运算封闭
3. H是G的子集

eg:找出3次对称群的所有子群。

解 . (1)， {(1) ,(1 , 2) }， {(1) ,(1 , 3) }， {(1) ,(2 , 3) }， {(1) ,(123) ,(132) }， S3。

判断子群的充要条件

同理在子环和子域中也有类似的证明

定理 ：    设( G1 , ◦)和( G2 , ∗)都是群， ϕ : G1 → G2， ∀ a, b ∈ G1， ϕ( a ◦ b) = ϕ( a) ∗ ϕ( b)，证明：       ϕ −1 ( e2)为 G1的子群，其中 e2为 G2的单位元素。

群G的任意多个子群的交还是G的子群

任一群不能是其两个真子群的并

 1. 举例说明两个子群的并可以不是子群。

解 . S6 = {[0] , [1] , [2] , [3] , [4] , [5] }， {[0] , [2] , [4] }和 {[0] , [3] }为 S6的两个子群，但 {[0] , [2] , [4] }∪{[0] , [3] } = {[0] , [2] , [3] , [4] }不是 S6的子群，因为[2] + [3] = [5] ∉ {[0] , [2] , [3] , [4] }。

2.设G1和G2为群G的两个真子群，证明：G1 ∪ G2为G的子群的充分必要条件是G1 ⊆ G2或者G2 ⊆ G1。

       如果 G1 ⊆ G2或者 G2 ⊆ G1，则 G1 ∪ G2 = G2或 G1，此时显然 G1 ∪ G2为 G的子群。 如果 G1 ∪ G2为 G的子群，以下用反证法证明 G1 ⊆ G2或者 G2 ⊆ G1。

        假设 G1 ⊈ G2并且 G2 ⊈ G1，则存在 g2 ∈ G2，但是 g2∉ G1，同时存在 g1 ∈ G1，但是 g1

∉ G2。于是 G1为 G1 ∪ G2的真子集， G2为 G1 ∪ G2的真子集，易得 G1和 G2为 G1 ∪ G2的真子群，由于任一群不能是两个真子群的并,矛盾。

 群G的中心C是G的可交换子群。

中心:  群G的元素a称为G的中心元素，如果a与G的每个元素可交换，即∀x ∈ G, ax = xa。G的所有中心元素构成的集合C称为G的中心。

不要忘记先证明他是一个群     形式有点像正规子群

 生成子群

设 M为 G的一个非空子集， G的包含 M的所有子群的交称为由 M生成的子群，记为( M)。

有一点像细胞分裂

 推论:有限生成子群仍然是循环群

证明(Q, )的每个有限生成子群都是循环群？ - 知乎 (zhihu.com)

4.变换群 同构

同构:

      设(G1, ◦)，(G2, ∗)为两个群。如果存在一个双射ϕ : G1 → G2，使得∀a, b ∈ G， ϕ(a ◦ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b), 则称群G1与G2同构，记为G1  ≅ G2。ϕ称为从G1到G2的一个同构。

同构和同态区别和联系:

1. 都满足那个等式
2. 不同:同态不一定要求是双射

变换群

对称群:设 S为一个非空集合，从 S到 S的所有双射构成的集合对映射的合成构成一个群，称为 S上的对称群，记为 Sym( S)。当 S = {1 , 2 , · · · , n }时， Sym( S) = S n。

变换群: Sym( S)的任意一个子群称为 S上的一个变换群。 S n的任意一个子群称

为一个置换群。

定理:任何一个群都同构于某个变换群。（Caley定理)

推论:任意一个 n阶有限群同构于 n次对称群 S n的一个 n阶子群，亦即任意一个

有限群同构于某个置换群。

练习:

1. 证明一个群是一个变换群
2. 证明是同构,关键是找到一个映射,先证明是一个映射,再证明是一个满射,再证明符合同构的等式。

 5.循环群

循环群的定义:

如果G是由其中的某个元素a生成的，即G = (a) = {· · · , a−2 , a−1 , e, a, a2 , · · · }

• 整数加法群(Z,+)为循环群,其生成元为1。
• 模n同余类加群Zn = {[0], [1], · · · , [n − 1]}为一个阶为n的有限循环群,其生成元为[1]。

循环群的阶:

 循环群的同构:

1. 无穷循环群同构于整数加群(Z, +)，即如果不计同构，无穷循环群只有一个，就是整数加群；
2. 阶为n的有限循环群同构于模n同余类加群(Zn, +)，即如果不计同构,n阶循环群只有一个，就是模n同余类加群。

 这个定理告诉我们可以以整数加群和模n同余的整数加群为为媒介,证明两个子群同构

example

循环群子群的阶:

循环群的性质

1. 循环群仍然是交换群 原因 循环群中的每一个元素都可以表示成a的多少次方，那么a^(i+j) = a^(j+i)显然是一个交换群
2. 循环群的子群仍然是循环群

3. 循环群的子群仍然是该循环群的正规子群

最大公约数

d为 a和 b的最大公约数表示为d=( a, b)

两个定理

• 设a, b ∈ Z，a和b不全为0，则∃m, n ∈ Z使得(a, b) = ma + nb。
• 设 a, b ∈ Z， b > 0， a = qb + r，0 ≤ r < b，则( a, b) = ( b, r)。

example  计算(266 , 112)，并将其表示成 m · 266 + n · 112的形式

循环群的阶和最大公约数

子群的陪集 拉格朗日定理

Concept: 群子集的乘法

• AB = { ab | a ∈ A且 b ∈ B }
• ∀ g ∈ G, A ∈ 2 G , { g } A简写为 gA，即 gA = { ga | a ∈ A }。 A { g }简写为 Ag，

  即 Ag = { ag | a ∈ A }。
• 设 G为一个群，则 ∀ A, B, C ∈ 2 G，( AB) C = A( BC)。

Concept:陪集定义和性质

定义:

设 H为群 G的一个子群， a ∈ G，则集合 aH称为子群 H的一个左陪集, Ha称为 H的一个右陪集。

性质:

1. 设H为群G的一个子群，则∀a ∈ G，aH = H的充分必要条件是a ∈ H。
2. 设 H为群 G的一个子群，则 ∀ a, b ∈ G， aH = bH的充分必要条件是 a ^ −1  b ∈ H。
3. 子群的不相交性:设 H为群 G的一个子群，则 ∀ a, b ∈ G， aH = bH或者 aH ∩ bH = φ。
4. 等容量性:设 H为群 G的一个子群，则 ∀ a, b ∈ G， | aH | = | bH |。
5. 划分性:设H为群G的一个子群，则H的所有左陪集构成的集合为G的一个划分。

证明:参见讲义 第二条证明较为麻烦↓    ↓     ↓     ↓

拉格朗日定理

指数的定义:

       设H为群G的一个子群，如果H的所有不同的左陪集的个数为有限数j则称j为H在G中的指数，记为j = [G : H]，否则称H在G中的指数为无穷大。

拉格朗日定理及推论:

设 G为一个有限群， H为 G的一个子群，则 | G | = | H | · [ G : H]。

推论*3:

• 有限群中每个元素的阶都能整除该有限群的阶。
• 如果群的阶是素数,则该群是一个循环群。
• 设 G为一个群，则 ∀ a ∈ G， a^ | G | = e。

推论*2:

• 设 H为群 G的一个子群， S l为 H的所有左陪集构成的集合， S r为 H的所有右陪集构成的集合，则 | S l | = | S r |。

设 p为素数，整数 a与 p互素，则 a ^  p −1 ≡ 1 (mod p)。

 备注:

• 【a】p-1 = [1]是因为推论3 这个是要证明一个运算在一个群里
• 思考是否可以用群的另外一种判断方法来证明:证明结合律和左右消去律。

正规子群 商群

有了陪集和群子集乘法的概念,我们引入正规子群和商群。

简单复习

群运算:

其中对于定理三我们比较难理解 

判断两个子群的乘积是否也是子群

 正规子群

引入:

在上一节中我们学习了子群的乘法,但和映射类似,子群的乘法不一定满足交换律,例如

正规子群定义:

设 H为群 G的子群，如果 ∀ a ∈ G， aH =  Ha，则称 H为 G的正规子群。

正规子群等价命题:

 证明： 3-4相对麻烦

 商群

引入(可以不用看)

就是证明代数系统是一个群

定义和形式化举例 

      定义:群G的正规子群H的所有左陪集构成的集族,对群子集乘法构成的群称为G对H的商群,记为G/H。

• 商群其实就是上面提到拉格朗日对于G的划分
• 商群是对集族进行运算而不是集合
• 每个商群划分的元素都是互不相交的

      形式化举例

 练习:

没啥多说的直接看吧

同态的基本定理 

引入同态是为了消弱同构的条件 同态和同构差别就在于是否一定是双射

• 同态不一定是双射
• 单射叫单同态，满射叫满同态注意符号怎么写

同态定义

性质

两个定理

 同态的替身和原同态关系

 证明方法见笔记 

同态的核

定义

同态像就是像集中能够被映射到的元素组成的集合。而同态核就是定义域集合中所有像为幺元的元素组成的集合。同态的核是衡量同态单射的程度。

抽象代数学习笔记（四） - 知乎 (zhihu.com)

特殊的同态核

这里需要注意的是先要验证是一个同态 因为只说了 他是一个映射 不一定满足那个同态表达式

 同态基本定理

练习 

环 体 域

有些符号打字太麻烦了 直接看我写的latex

定义

环

 体

交换环 /域

 子环/子域

判断子环的条件 

减法 类似于加法的逆 

子环

 子体/子域

 举例:

零因子环

零因子 

无零因子环

 判断无零因子环的充分必要条件(数理逻辑谓词证明方法)

 判断无零因子环的充分必要条件

有限环和体的关系 

练习 

做题中遇见的问题和技巧

• 通过结合律和消去律 证明代数系是群 必须是有限群的充要条件
• 群G的中心是G的子群
• 偶数阶群一定至少存在一个阶为2的元素
• 如果一个n阶有限群中有一个元素的阶等于该有限群的阶n,那么这个群是一个循环群
• 如果两个数最大公约数是d,则存在非零整数m,n,使得,ma+nb=d
• 同构的两个群阶数相等
• 循环群一定是一个交换群 循环群的子群是原来群的正规子群
• 如果一个群的阶是素数那么这个群一定是循环群(拉格朗日) 进而也是一个交换群特殊的2阶群是循环群也是交换群
• 三阶群是交换群  四阶群也是交换群 证明往上翻
• H为G的正规子群 ah不一定等于ha ah = ah1
• 指数为2的子群是正规子群
• 证明两个集合乘法仍然是原来的子群只需证明AB = BA
• 证明G\H是商群的时候一定先说明H是正规子群
• 商群G\H的单位元是H,所有的元素(元素是集合)要么相等要么互不相交
• 证明同态的时候有的时候先要说明是一个映射 就是证明任意的a=b f(a)=f(b)相同的元素映射到相同的位置
• 同态的核只是相对于满同态来说 他是用来衡量同态映射的单射程度
• {e}是任何群的正规子群 这在同态的证明和同态核中有一部分的应用
• 证明环是第一个是Abel群 第二个是半群 不要搞混

1.证明是商群必须证明是正规子群

q:请问不是交换群 可不可以说明他有一个n阶商群  [G:H]= n和商群的阶是n是一回事么

a:商群必须是正规子群左陪集构成的集族  所以不是一回事

2.

使用反证法

3. 利用分类讨论的思想来做题

 4.利用找特殊的方法

找出一个例子 

5.利用已知条件进行一个"构造"的方法

 

                                                 关键是在3->2的推导 

6.这个题虽然也是课后题 了解一下就好 拓展一下思路

.类比的思考 比如这个题 解答版能不能把那个定理推广到右陪集

8.拉格朗日定理的拓展

红笔的原因  因为H是是A的子集，所以H中元素与A构成的陪集就是A  详见任世军老师的网课 

9.存在性问题 

六阶群 一定存在一个三阶子群

2n阶交换群一定存在一个n阶商群