数据结构——AVL树
目录
概念
结点定义
插入
旋转
左单旋
右单旋
条件：parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1编辑
左右双旋
右左单旋
验证
步骤
完整代码（包含验证代码）
总结
概念
二叉搜索树虽然可以提高我们查找数据的效率，但如果插入二叉搜索树的数据是有序或接近有序的，此时二叉搜索树会退化为单支树，在单支树当中查找数据相当于在单链表当中查找数据，效率是很低下的。
因此，两位俄罗斯的数学家G.M.A delson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的结点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
AVL树可以是一棵空树，也可以是具有以下性质的一棵二叉搜索树：
- 树的左右子树都是AVL树。
- 树的左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1（-1/01）。
如果一棵树是平衡的，那么它就是一颗AVL树。
结点定义
我们不同于普通的二叉搜索树的是，我们的AVL树的结点需要多一个父指针指向自己的父节点，还有一个记录平衡因子的变量，构成了特殊的三叉链结构。因为我们要保持AVL树的左右子树高度差的绝对值不超过1，所以要对树的结构进行旋转。所以通过看平衡因子的值就能知道是否左右子树高度不超过1。
template
struct AVLTreeNode
{
//需要存储的键值对
pair _kv;
//特殊的三叉链结构
AVLTreeNode* _left;
AVLTreeNode* _right;
AVLTreeNode* _parent;
int _bf;//平衡因子（balance factor）
//构造函数
AVLTreeNode(const pair& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};
插入
插入是我们学习AVL树的重点，因为我们可以通过插入来很好的学习到AVL树调节平衡的过程。
规则：
1、按照二叉搜索树的规则进行插入即可。
2、在插入的过程中去调节平衡因子。
平衡因子：
1、若是在parent的左边新增了结点，那么parent->_br--;
2、若是在parent的右边新增了结点，那么parent->_br++;
3、如果更新完平衡因子之后parent->_br为0。说明更新之前平衡因子是-1或者1，更新之后补全了矮的那棵树，所以为0，则不用继续往上更新平衡因子。
4、如果更新完平衡因子之后parent->_br为-1或1.说明更新之前平衡因子是0，因此更新后使parent的左树或者右树高了1，因此应该向上继续调整平衡因子。
5、如果更新完平衡因子之后parent->_br为-2或2.说明更新之前平衡因子是-1或1.当前的树已经严重不平衡，应当立即调节。
旋转
左单旋
条件：parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1
注意：parent可能也有父节点，要注意进行链接。
void RotateL(Node* parent)
{
//先定义（链接好）我们需要用的两个结点
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* ppNode = parent->_parent;
//旋转
parent->_right = subRL;
if (subRL)//若subRL为空就不能对其解引用了
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
//进行根的链接工作
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
//这个ppNode如果不为空，说明我们所遍历的这个树只是
//一个子树，还要进行链接工作
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = nullptr;
}
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}右单旋
条件：parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1
与左单选相似！
void RotateR(Node* parent)
{
//定义
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
//这个ppNode如果不为空，说明我们所遍历的这个树只是
//一个子树，还要进行链接工作
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}左右双旋
条件：parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1
左右双旋需要注意的是，我们复用了单旋的步骤，但是不能复用他们最终平衡因子的赋值，因此我们需要自己一步一步的走，来计算最后各个节点的平衡因子。
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1)//左子树是新增
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)//右子树是新增
{
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)//subLR自身是新增的
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}右左单旋
条件：parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == -1)//左子树是新增
{
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)//右子树是新增
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == 0)//subLR自身是新增的
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}验证
步骤
1、首先我们要验证它是一个二叉搜索树，利用中序遍历是一个有序的序列就能得以验证。
2、验证是否为平衡二叉树，利用递归去计算树的高度，只要每个结点的两个子树高度之差的绝对值不大于1就说明是平衡二叉树。（可以顺便检查我们所计算的平衡因子是否异常）。
3、我们可以用一个随机数来进行插入，然后进行中序遍历，这样更能保证我们的树没问题。
完整代码（包含验证代码）
#pragma once
#include
#include
template
struct AVLTreeNode
{
pair _kv;
AVLTreeNode* _left;
AVLTreeNode* _right;
AVLTreeNode* _parent;
int _bf;//平衡因子balance factor
AVLTreeNode(const pair& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};
template
struct AVLTree
{
typedef AVLTreeNode Node;
public:
bool Insert(const pair& kv)
{
//如果为空树 直接插入
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
//创建一个父节点 以便于链接工作
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//根据二叉搜索树的性质进行确定我们需要插入结点的大概位置
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (kv.first > parent->_kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
//更新平衡因子
while (parent)//parent为空，也就更新到根了
{
// 新增在右，parent++
// 新增在左，parent--
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else if (cur == parent->_right)
{
parent->_bf++;
}
else
{
break;
}
//是否继续更新的依据：子树的高度是否变化
// 1、parent->_bf==0说明之前parent->_bf 是 1 或者 -1
// 说明之前parent一边高一边低，这次插入填上了之前矮的那边，parent所在的子树高度不变，不需要往上更新
// 2、parent->_bf==1或-1说明之前是parent->_bf==0，两边一样高，现在插入一边更高了
//parent所在子树高度变了，继续往上更新
// 3、parent->_bf==2或-2，说明之前parent->_bf==1或者 -1，现在插入之后严重不平衡，违反规则
// 就地处理--旋转
//
//
//
// 旋转：
// 1、让这颗子树左右高度不超过1
// 2、旋转过程中继续保持他是搜索树
// 3、更新调整孩子结点的平衡因子
// 4、让这颗子树的高度跟插入前保持一致
//
//平衡因子为0说明这棵树已经是平衡二叉树了直接break
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
//平衡因子是1或者-1说明这棵子树不需要更新了
//继续找父亲向上更新
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
//平衡因子等于2说明当前父节点的子树已经严重不平衡
//根据具体类型进行旋转
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//旋转
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
}
//这个break非常关键
//因为我们已经把平衡因子调节完毕了就不需要在这颗树里面继续调平衡了
break;
}
}
void RotateL(Node* parent)
{
//先定义（链接好）我们需要用的两个结点
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* ppNode = parent->_parent;
//旋转
parent->_right = subRL;
if (subRL)//若subRL为空就不能对其解引用了
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
//进行根的链接工作
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
//这个ppNode如果不为空，说明我们所遍历的这个树只是
//一个子树，还要进行链接工作
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = nullptr;
}
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
void RotateR(Node* parent)
{
//定义
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
//这个ppNode如果不为空，说明我们所遍历的这个树只是
//一个子树，还要进行链接工作
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1)//左子树是新增
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)//右子树是新增
{
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)//subLR自身是新增的
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == -1)//左子树是新增
{
subR->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)//右子树是新增
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 0)//subLR自身是新增的
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
}
void _Inorder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_Inorder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_Inorder(root->_right);
}
int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int lh = Height(root->_left);
int rh = Height(root->_right);
return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
bool IsBalance()
{
return _IsBalance(_root);
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << "平衡因子异常" << endl;
return false;
}
return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& _IsBalance(root->_left)
&& _IsBalance(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
//写入几个树进行验证
//void TestAVLTree()
//{
// //int a[] = { 8, 3, 1,10,6,4,7,14,13 };
// //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
// //int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
// AVLTree t;
// for (auto e : a)
// {
// t.Insert(make_pair(e, e));
// }
// t.Inorder();
// cout << t.IsBalance();
//}
//
//
//利用随机值进行验证
void TestAVLTree()
{
srand(time(0));
const size_t N = 10;
AVLTree t;
for (size_t i = 0; i < N; i++)
{
size_t x = rand();
t.Insert(make_pair(x,x));
}
t.Inorder();
cout << t.IsBalance();
} 总结
关于AVL树，我们只是做一个了解。在以后的运用中很少使用AVL树，但是AVL树的旋转是一个重点，我们需要去了解每种情况的过程是怎么发生的。AVL树的优势在于查找效率，由于有优越的（平衡因子不大于1）性质，使得它的查找效率为logN。