极限思想
极限思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。
刘徽割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法。
《庄子 · 天下》：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
原意是一尺的木棍今天取其一半，明天取其一半的一半，后天再取其一半的一半的一半，总有一半留下，所以永远也取不尽。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限理论学习
借助极限思想，人们可以从直线认识曲线，从静止认识运动，从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变。
这里引用朱孝春，浙江同济科技职业学院基础部，提出的关于极限理论学习三个有趣问题。
无限循环小数问题：假如询问学生等式 0.9999··· = 1 是否成立？大约有80%以上学生持反对态度。如果换个角度，问等式 1/3 = 0.3333··· 是否成立？这时基本上不会出现反对意见了。既然这个式子成立，那么等式两边同乘以3，3 × 1/3 = 1，3 × 0.3333··· = 0.9999··· ，因此 0.9999··· = 1 。
我们在认识事物时，总是习惯以简单的形式看问题，用静态的角度去观察客观现象。我们很容易将0.9999···与0.9999···9等同起来。但区别是后者是一个静止的数，拥有有限个9，而前者有无限多个，它是一个刻画运动变化趋势的数。
极限理论的学习，让我们感受到，认识事物要用动态的角度去观察，近似与精确、有限与无限，是对立统一关系，通过极限思想得到了相互归化，由近似认识精确，由有限认识无限。有了极限观念的引入，主体理性和客观存在之间的矛盾，便成了充分融合的事实。
无限不循环小数问题：我们都知道√2约等于1.414 。但它具体精确到什么值，我们无从得知，因为它是无理数。什么叫无理数？通俗的讲，就是用以往的知识无法理解的数。换言之，只有学习了极限理论，才能领悟的数。现代数学知识告诉我们，√2就是一个无穷数列的极限，根据保留小数的位数，这个数列是：1.4，1.41，1. 414，1. 4142，1. 41421 ... 我们可以得到保留小数一千位、一万位的√2的近似值，但是我们永远都不能得到√2的精确值。
认识虽然永远不会等同存在，但认识可以向存在无穷逼近。只要充分发挥我们的聪明才智，永不懈怠，认知的误差可以无限的减少，正因为如此，极限思想是一种无限发展、永远开放的哲学思想，现代哲学也必将因引进微积分的极限思想而发生根本性的变革。
杯半问题：有两只盛有水的足够大的杯子A和B，设A杯和B杯的原始水量均为1，先是把A杯一半的水倒入B杯，再把B杯一半的水倒入A杯，作为一个轮次，这样无穷无尽地倒来倒去，排除水的损耗，那么最后的趋势，A杯和B杯的水量有什么关系？
大约一半的同学，会首先想到最后是两个杯子的水量相等。事实上，这不可能是最后的平衡关系，因为再倒一个轮次，两杯的水量就马上出现了差值。实验发现，即使任意改变A杯和B杯的初始水量大小，只要达到一定的轮次，A与B的水量比都无限接近于2。
这个例子告诉我们，在极限研究中，有时候我们可以设法借助一些数学实验。随着科学技术的不断发展，数学实验的途径将越来越多，它可以帮助我们更直观地认识变量的变化趋势。
芝诺的乌龟
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟。
从现代物理学的角度来看，芝诺的乌龟是不成立的。他把时间和空间，看成无限可分的状态。我们都知道普朗克长度，也就是物理学上有意义的可测量的最小长度。一般认为，达到了这个普朗克长度之后，任何长度也就没有任何意义了。
普朗克常数是普朗克根据能量辐射公式推导出的一个物理常数。普朗克长度就是指长度的最小单位，即1.6x10-33厘米，我们可以将普朗克长度理解成一个质子直径的10的22次方分之一，即使使用目前最先进的电子显微镜，也无法观察到它，因为它在由粒子组成的微观世界都可以小到忽略不计。但由于普朗克长度是通过公式推导出来的，所以更为严谨的说：普朗克长度是具有意义的最小可测长度，或许存在比普朗克意义还要短的长度，但它不具有现实意义，就像在数学解方程中得出的解是虚数，或者在相对论体系内讨论超光速一样，这些都没有现实意义。
从这个角度上来说，任何趋于无限小的长度都不会小于普朗克长度，不然这个无限小就失去了存在的意义，例如：宇宙中十分常见的天体黑洞，虽然黑洞会由于重力崩塌的作用无限向内坍缩，体积将会无限变小，但黑洞的体积也不会小于普朗克长度，或者说黑洞实体（并非事件视界）就是普朗克长度。
所以当乌龟和阿基里斯之间的距离，达到一个普朗克长度距离的时候。或者时间达到一个普朗克时间的时候，是无法再继续分割的。这个时候，你看到的运动，就是阿基里斯直接跨过一个普朗克长度，时间也正好过去了一个普朗克时间大小的时间，并且顺利追上了乌龟。
从微积分的观点来讲，不断地细分，误差就会越来越小，直到度量不出来，小到失去它存在的意义。有人说，微积分也只是能够对这个问题进行解释，而至于它是否真正能解决这个问题，还有待考证。