二叉搜索树与AVL树

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二叉搜索树

AVL树

AVL树的旋转

LL旋转

LR旋转

RR旋转

 RL旋转

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二叉搜索树

二叉查找树(Binary Search Tree)，(又:二叉搜索树，二叉排序树)它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树: 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值; 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值; 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
左小右大：小于根节点的数放左边，大于根节点的数放右边。
重复的节点值不允许出现

二叉搜索树中序遍历得到的值序列是递增有序的
如上图，中序遍历得到的序列为：[2, 5，9, 12, 14, 16, 17, 18, 19]
二叉搜索树是一种用于查找操作的高效数据结构。

因为在最坏的情况下，只需要查找一个分支上的数据，而不用检索每一个数据。查找的复杂度为O(lg n)，n为树中的节点数。这里树必须保持平衡。保持平衡就是指对于给定数量的节点，要使得树的高度尽可能短。
保持二叉树处于平衡状态非常重要，因为这代表的我们查找的分支不会特别长。
如果一棵二叉树越来越不平衡，所有节点连成一条线。查找一个节点的复杂度就成了O(n)，这相当于从头到尾查找。所以要采取一些办法来保持平衡。

其中最好的办法就是将二叉树实现为AVL树（实际上红黑树的统计性能比AVL树更好，红黑树也是一种平衡搜素树）。

AVL树

AVL树是最早被发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1，因此它也被称为高度平衡树。，它的每一个节点都保存一份额外的信息：节点的平衡因子。节点的平衡因子是它的左子树的高度减去它的右子树的高度（有时相反）。带有平衡因子1、0或 -1的节点被认为是平衡的。带有平衡因子 -2或2的节点被认为是不平衡的，并需要重新平衡这个树。平衡因子可以直接存储在每个节点中，或从可能存储在节点中的子树高度计算出来。当插入节点时，AVL树需要自我调整，使得所有节点的平衡因子保持为+1，-1和0。

• 平衡因子为+1：左倾斜
• 平衡因子为-1：右倾斜
• 平衡因子为0：平衡

查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是。

算法 平均 最差 空间 O(n) O(n) 搜索 O(log n) O(log n) 插入 O(log n) O(log n) 删除 O(log n) O(log n)

AVL树的旋转

AVL树的查找和插入节点操作和普通二叉树一样，但是，当向AVL树中 插入一个节点，还有一些额外工作要做：

• 必须计算因为执行了 插入操作对平衡因子带来的改变
• 如果任何平衡因子变成了±2，就必须从这个节点开始往下重新平衡这棵树

重新平衡的过程就称为旋转。

旋转操作用来重新平衡AVL树的某个部分，通过重新安排节点，同时又必须保持节点之间的关系：左节点小于父节点，右节点大于父节点。也就是必须保持该树仍是二叉树。旋转过后，旋转子树中的所有节点的平衡因子都为+1，-1或0。

共有四种旋转类型需要执行：LL、LR、RR和RL旋转。

设x代表刚插入的AVL树中的节点，设A为离x最近且平衡因子更改为±2的祖先。

LL旋转

当x位于A的左子树的左子树上时，执行LL旋转：

设left为A的左子树，要执行LL旋转：

1. 将A的左指针指向left的右子节点
2. left的右指针指向A
3. 将原来指向A的指针指向left

旋转过后，将A和left的平衡因子都改为0，所有其他的平衡因子没有改变。

LR旋转

当x位于A的左子树的右子树上时，执行LR旋转：

设left是A的左子节点，并设A的子孙节点grandchild为left的右子节点。

RR旋转

当x位于A的右子树的右子树上时，执行RR旋转，RR旋转和LL旋转是对称关系。

 RL旋转

当x位于A的右子树的左子树上时，执行RL旋转，RL旋转和LR旋转是对称的关系。