（邱维声）高等代数课程笔记：行列式的性质

行列式的性质

例题 1：

∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21 ,   ∣ a 11 a 21 a 12 a 22 ∣ = a 11 a 22 − a 21 a 12 . \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{matrix}\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21},~ \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{21}\\ a_{12} &a_{22} \end{matrix}\right| = a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}. ​a11​a21​​a12​a22​​ ​=a11​a22​−a12​a21​,  ​a11​a12​​a21​a22​​ ​=a11​a22​−a21​a12​.

\quad 可以看到，二阶行列式的元素”行列互换“，并没有改变行列式的值！

\quad 这是否是一个普遍规律呢？换言之，对于一般的 $n$ 阶行列式而言，行列互换，是否不改变行列式的值？

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转置：设 $A=(a_{ij})$ 为数域 $K$ 上的一个 $n$ 级矩阵，将 $A$ 的行列互换，得到新的 $n$ 级矩阵，记作 $A^{\prime }$ 或 $A^T$ 或 $A^t$，称为 $A$ 的转置。

A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) → 转置 A ′ = ( a 11 a 21 ⋯ a n 1 a 12 a 22 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n ) A = \left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right) \xrightarrow{\text{转置}} A' = \left(\begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \cdots &a_{n1}\\ a_{12} &a_{22} &\cdots &a_{n2}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{1n} &a_{2n} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right) A= ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​ ​转置 ​A′= ​a11​a12​⋮a1n​​a21​a22​⋮a2n​​⋯⋯⋯​an1​an2​⋮ann​​ ​

\quad 思考：$|A|$ 与 $|A^{\prime }|$ 有什么关系？

性质 1：行列互换，行列式的值不变。即：$|A|=|A^{\prime }|$.

证明：

\quad 设 $B=A^{\prime }$，则 $|B|=|A^{\prime }|$，即 $b_{ij}=a_{ji},1\le i\le n,1\le j\le n$.

\quad 于是，

$$\begin{array}{rl}|B|& =\sum _{i_1{i}_2\cdots i_n}(-1{)}^{\tau (i_1{i}_2\cdots i_n)}{b}_{1i_1}{b}_{2i_2}\cdots b_{n{i}_n}\\ & =\sum _{i_1{i}_2\cdots i_n}(-1{)}^{\tau (i_1{i}_2\cdots i_n)}{a}_{i_{1}1}{a}_{i_{2}2}\cdots a_{i_{n}n}\\ & =|A|\end{array}$$

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注：性质 1 进一步地表明了 ”行列式中，行与列地的地位是相同的“！

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\quad 简单地回顾一下当前的进度：

1. 目前为止，对于数域 $K$ 上的由 $n$ 个方程构成的的 $n$ 元线性方程组，我们只能通过 矩阵消元法 直接求解，求解完（或者快求解完）才能知晓方程组是否有解？若有解，有多少解？矩阵消元法 的本质是对矩阵作初等行变换。思考：方阵的初等行变换对于其行列式的值有什么影响？
2. 前面说过，我们曾有这样的一个猜想：由 $n$ 个方程组构成的 $n$ 元线性方程组有唯一解当且仅当其系数矩阵 $A$ 的行列式 $|A|\ne 0$. 这就涉及到了行列式的计算。按照上一节行列式的定义求解无疑是复杂的，是否有简便的方法？
3. 另外，在上一节中，我们介绍的上三角行列式的求解十分简单，而其对应的矩阵恰为阶梯形方阵，再联系到矩阵的初等行变换，这就给了我们一个突破点。

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性质 2：行列式 $|A|$ 的某一行乘上一个非零数 $k$ 得到一个新的行列式，则新的行列式的值为 $k\cdot |A|$.

证明：

\quad 设行列式 $|A|$ 的第 $i$ 行乘上数 $k\ne 0$，得到行列式 $|B|$.

∣ A ∣ = ∣ a 11 a 21 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ ,   ∣ B ∣ = ∣ a 11 a 21 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ k a i 1 k a i 2 ⋯ k a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ |A| = \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{21} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{i1} &a_{i2} &\cdots &a_{in}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right|,~ |B| = \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{21} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ ka_{i1} &ka_{i2} &\cdots &ka_{in}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| ∣A∣= ​a11​⋮ai1​⋮an1​​a21​⋮ai2​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​⋮ain​⋮ann​​ ​, ∣B∣= ​a11​⋮kai1​⋮an1​​a21​⋮kai2​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​⋮kain​⋮ann​​ ​

\quad 由行列式的定义，

$$\begin{array}{rl}|B|& =\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{i{j}_1}\cdots (k{a}_{i{j}_i})\cdots a_{n{j}_n}\\ & =k\left(\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{i{j}_1}\cdots a_{i{j}_i}\cdots a_{n{j}_n}\right)\\ & =k|A|\end{array}$$

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注：对于性质 $2$，尽管我们的出发点是矩阵的初等行变换，而矩阵的初等行变换正是要求 $k\ne 0$，但实际上，从证明过程中可以看出，即使 $k=0$，性质 $2$ 也成立。

性质 2‘：行列式 $|A|$ 的某一行乘以一个数 $k$ 得到新的行列式，则新行列式的值为 $k|A|$.

\quad 作为 性质 2' 的推论，我们有 性质 3。

性质 3：若行列式 $|A|$ 的某行元素全为零，则行列式的值为 $0$.

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性质 4：若行列式 $|A|$ 的某一行是两组数的和，则 $|A|$ 等于两个行列式的和，其中，这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，而其余行与原来行列式的对应各行相同。即

∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ b 1 + c 1 b 2 + c 2 ⋯ b n + c n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ b 1 b 2 ⋯ b n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ + ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ c 1 c 2 ⋯ c n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ b_{1} + c_{1} & b_{2} + c_{2} &\cdots &b_{n}+c_{n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ b_{1} & b_{2}&\cdots &b_{n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ c_{1} & c_{2} &\cdots &c_{n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| ​a11​⋮b1​+c1​⋮an1​​a12​⋮b2​+c2​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​⋮bn​+cn​⋮ann​​ ​= ​a11​⋮b1​⋮an1​​a12​⋮b2​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​⋮bn​⋮ann​​ ​+ ​a11​⋮c1​⋮an1​​a12​⋮c2​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​⋮cn​⋮ann​​ ​

证明：

∣ A ∣ = ∑ j 1 j 2 ⋯ j n ( − 1 ) τ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 ⋯ ( b j i + c j i ) ⋯ a n j n = ( ∑ j 1 j 2 ⋯ j n ( − 1 ) τ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 ⋯ b j i ⋯ a n j n ) + ( ∑ j 1 j 2 ⋯ j n ( − 1 ) τ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 ⋯ c j i ⋯ a n j n ) = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ b 1 b 2 ⋯ b n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ + ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ c 1 c 2 ⋯ c n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ \begin{aligned} |A| &= \sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} a_{1j_{1}}\cdots (b_{j_{i}}+c_{j_{i}})\cdots a_{nj_{n}}\\ &=\left(\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} a_{1j_{1}}\cdots b_{j_{i}}\cdots a_{nj_{n}}\right) + \left(\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} a_{1j_{1}}\cdots c_{j_{i}}\cdots a_{nj_{n}}\right)\\ &= \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ b_{1} & b_{2}&\cdots &b_{n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ c_{1} & c_{2} &\cdots &c_{n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| \end{aligned} ∣A∣​=j1​j2​⋯jn​∑​(−1)τ(j1​j2​⋯jn​)a1j1​​⋯(bji​​+cji​​)⋯anjn​​=(j1​j2​⋯jn​∑​(−1)τ(j1​j2​⋯jn​)a1j1​​⋯bji​​⋯anjn​​)+(j1​j2​⋯jn​∑​(−1)τ(j1​j2​⋯jn​)a1j1​​⋯cji​​⋯anjn​​)= ​a11​⋮b1​⋮an1​​a12​⋮b2​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​⋮bn​⋮ann​​ ​+ ​a11​⋮c1​⋮an1​​a12​⋮c2​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​⋮cn​⋮ann​​ ​​

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性质 5：行列式 $|A|$ 的任意两行互换得到新的行列式，则新的行列式的值为 $-|A|$.

证明：

\quad 设

∣ A ∣ = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋮ a j 1 a j 2 ⋯ a j n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 1 ⋯ a n n ∣ |A| = \left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{i1} &a_{i2} & \cdots &a_{in}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{j1} &a_{j2} &\cdots &a_{jn}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{n1} &a_{n1} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| ∣A∣= ​a11​⋮ai1​⋮aj1​⋮an1​​a12​⋮ai2​⋮aj2​⋮an1​​⋯⋯⋯⋯​a1n​⋮ain​⋮ajn​⋮ann​​ ​

\quad 互换 $|A|$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行，得到

∣ B ∣ = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a j 1 a j 2 ⋯ a j n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 1 ⋯ a n n ∣ |B| = \left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{j1} &a_{j2} & \cdots &a_{jn}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{i1} &a_{i2} &\cdots &a_{in}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{n1} &a_{n1} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| ∣B∣= ​a11​⋮aj1​⋮ai1​⋮an1​​a12​⋮aj2​⋮ai2​⋮an1​​⋯⋯⋯⋯​a1n​⋮ajn​⋮ain​⋮ann​​ ​

\quad 由行列式的定义，

$$\begin{array}{rl}|B|& =\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{b}_{1j_1}\cdots b_{i{j}_i}\cdots b_{j{j}_j}\cdots b_{n{j}_n}\\ & =\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}\cdots a_{j{j}_i}\cdots a_{i{j}_j}\cdots a_{n{j}_n}\\ & =\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}\cdots a_{j{j}_i}\cdots a_{i{j}_j}\cdots a_{n{j}_n}\end{array}$$

\quad 由第一节末的讨论可知，

$$\begin{array}{rl}|A|& =\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (1\cdots j\cdots i\cdots n)+\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}\cdots a_{j{j}_i}\cdots a_{i{j}_j}\cdots a_{n{j}_n}\\ & =\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1)\cdot (-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}\cdots a_{j{j}_i}\cdots a_{i{j}_j}\cdots a_{n{j}_n}\\ & =-|B|\end{array}$$

即 $|B|=-|A|$.

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\quad 由 性质 5 很容易退出 性质 6。

性质 6：行列式中若存在两行成比例，则行列式的值为 $0$.

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\quad 从 性质 1~ 性质 6 的证明过程中，可以体会到行列式的定义是多么重要！

\quad 下面，介绍行列式的最后一个性质，也是最重要的一个性质。

性质 7 ：将行列式某一行的某个倍数，加至另一行上，行列式的值不变。

证明：

\quad 性质 4 与 性质 6 的推论。

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\quad 说明很重要的一点：由 性质 1，性质 2 ~ 7 均可推广到”列“的情形，具体不再赘述。

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\quad 行列式的性质，最直接的一个应用就是：简化行列式的求解。

\quad 一般的做法是：将行列式变换为上三角行列式。再利用上三角行列式的求解方法进行求解。

例题 2：求解行列式

∣ k λ ⋯ λ λ k ⋯ λ ⋮ ⋮ ⋮ λ λ ⋯ k ∣ \left|\begin{matrix} k & \lambda &\cdots & \lambda\\ \lambda & k &\cdots &\lambda\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ \lambda &\lambda &\cdots &k \end{matrix}\right| ​kλ⋮λ​λk⋮λ​⋯⋯⋯​λλ⋮k​ ​

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参考：

1. 邱维声. 高等代数课程.