矩阵的实际意义
本文转载自十分钟理解线性代数的本质
我在上个月修了数值矩阵运算这门课 (Numerical Matrix Computing)，对矩阵的变换和一些性质有了一定的理解。
在这里总结一下自己的研究的一些心得。
在经过了这次的学习之后，我由衷地感慨，我以前学的线性代数是什么鬼呀！
最近由于选修博士的课程《矩阵运算》。所以我重新在网上恶补了一遍《线性代数》的基本概念[1]，对这门课有了全新的认识。
现在想想我大学学的线性代数，我真的会感慨，我之前都在学些什么呀！
如果你觉得自己当初线性代数也是学的一团雾水，不妨接着往下看看，绝对让你能够透彻的理解线性代数！
线性代数的本质
先一句话先把最重要的东西说了，什么是线性代数？
线性代数的本质，其实是一种高维空间上的变换。
这句话虽然简单，但这句话具体什么意思呢。别急，我们引入一个很直观的例子来理解这个数学表达。
拿二维空间中的小纸片人为例来说，小人在此：
我对一个小人进行位移，拉伸的一系列线性操作，它可以变成另一个样子：
这就是线性代数要做的一些事情。我对这个小人做的一些操作，就叫矩阵，也就是对这个对象的一些操作或者说映射。
所以乍一看，这个问题好像并没有什么特别难的，为啥线性代数这么难呢。
主要是很多的基本概念和实际的物理含义没有挂钩。
接下来，我们就来讲讲线性代数中的各个名词和物理含义的联系。
行列式
首先第一个概念就是矩阵的行列式。还记得刚开始学习线性代数的时候，老师上来就咔咔给我们一顿求解矩阵的行列式。
二阶矩阵的行列式是下面的这个公式，大家应该依稀还记得求矩阵的行列式的求法（不是定义），对角线相乘再相减：
然而，我还记得一个学期的线性代数学完了，我连第一个问题都没有解决。那就是，老师，咱们为什么要求一个矩阵的行列式？
为什么？
为什么？
在这里，我就来告诉大家，为什么要求解矩阵的行列式！
还是举一个例子，这次我们把上面的小纸片人换成一个面积是1*1的小方块：
我们用一个矩阵对它进行一顿操作，就得到了下面的样子：
可以看到，经过了图中所示的矩阵的变换之后，我们之前的小方块变成了大一点的矩形，面积变成了3*2，也就是6。
而我们再算算图中这个矩阵的行列式的数值，也是6。
行列式的数值和矩阵变换之后的面积一样！
朋友们，这不是巧合！
我们可以再试验一个矩阵变化：
我们用另一个矩阵对原来的小方块进行一顿操作，可以看到之前的小方块变成了一个斜一点的矩形。
变换后的斜方形的面积是1，而图中这个矩阵变换的行列式的数值也是1。
行列式的数值和矩阵变换之后的面积仍然一样！
这！其实就是行列式的非常重要的物理意义！它其实就是矩阵变换带来的面积变化。
我第一次看到这个概念的时候，觉得醍醐灌顶，原来行列式的意义可以这么理解！
同时感慨，曾经我求解了不下一千个矩阵的行列式，原来自己根本不知道自己在求些什么东西！
当然，上面的定义是不准确的，对于二维来说，行列式代表的就是面积变化，三维来说，行列式表征的就是体积变化了，推之高维空间亦然。这样就严谨一些了。
逆矩阵
现在我们应该知道了矩阵是一种变换，想想上面的矩阵变换，我们可以把一个小方块变成一个斜斜的方块。
那么一定存在另一种矩阵的映射，能把这个斜斜的方块变回原来的小方块，是不是？
所以逆矩阵的物理意义就出来了，如果有个矩阵能把经过变换之后的斜斜的这个方块：
还原成为之前的小方块：
那么它就是原来那个矩阵的逆矩阵。
可以这么理解，逆矩阵就是一种对原矩阵的逆向变换。
对于逆矩阵，在数学上，有这么个表达：
A 是一个矩阵， A-1是A 的逆矩阵，它们相乘会得到一个单位矩阵。
结合物理意义我们就能理解这个公式了：一个物体经过了A矩阵的变换，在经过A 的逆矩阵的变换，就等于保持不变（单位矩阵就是保持不变）。
简单来说一句话，变过去又变回来，那就是没有变。
这就是逆矩阵的性质。
矩阵的秩
如果说上面的东西还只是有点意思的话，那接下来讲的东西就要进入高潮了。
由上面的论述，我们知道了逆矩阵是啥东西——就是一种反向变换。
一切看似没啥问题。
但是问题来了。我们喜欢折腾的数学家不久发现，有些矩阵变换没法求逆变换！
这是为什么呢？
这还要从矩阵的行列式说起。
我们从上面知道了，行列式表征的一种面积的变化。但是我们会发现有很多矩阵的行列式的数值是0。
啥意思呢？
很不严谨地举一个例子，想想我们上面提到的那个小方块。
现在有一种变换，让这个小方块的面积变换后变成零了。你觉得这是一个什么变换？
不知道你猜出来没（反正我一开始是没有头绪），只有一种可能：
这个小方块被压缩成了平面上的一个点或者一条线！
以至于变换后的面积为零！
这就是行列式为零的物理意义。
借由这个物理意义，我们进一步可以知道：
如果一个矩阵变换的行列式为零，代表这个变换将对目标进行降维（比如从平面变成点）。
然后我们可以想象，一个物体维度一旦下降（比如从平面变成点），这个过程将不能逆转（从点重新恢复成平面）。
这就是为什么有些矩阵变换不能求逆矩阵！
进一步，我们就能得到线性代数里面最常用的一个结论：
行列式为0的矩阵是不可逆矩阵，不可逆矩阵的行列式就是0。
我第一次看到这个结论，内心是在咆哮的：
这就是传说中的降维打击啊！
科幻里面的东西原来就在身边，只是我一直没有去挖掘过！
那么什么又是矩阵的秩呢？
一句话解释就是，矩阵变换之后所给出的维度，就是矩阵的秩。
什么意思，打个比方，很简单，如果对一个三维物体进行一个矩阵变换，变成了一维的，那么这个矩阵的秩就是1，如果得到的是二维的，那么这个矩阵的秩就是2。
如果变换之后仍然是三维物体，那么这个矩阵的秩就是3，也叫做满秩（没有维度的损失）。
前两种情况下，经过矩阵变换后，维度都会下降，信息都会丢失。可以想象，他们相应的行列式都为零——对于一个三维物体，无论是变成了直线还是点，面积都是变成了0。
所以我们又得到了一个重要结论：
只有满秩的矩阵（变换之后维度不变）行列式才不为零。
我们可以看到，用物理含义来看这些定义，会显得格外通俗易懂。
特征根与特征向量
接下来我们来讲讲线性代数里面最最核心的最经典的一个问题：
求解矩阵的特征根和特征向量。
我刚开始学习矩阵这门课的时候，老师啥也没说，整节课就围绕着求解一个矩阵的特征向量和特征根展开了。
遗憾的是，我再次懵圈了，因为我连一个最基本的问题都没搞明白，嘿，老师，我们为啥要求解特征根和特征向量呀？
啥是矩阵的特征根？
啥事矩阵的特征向量？
啥？啥？啥？
于是我下课自己查看了相关资料之后，网友的一通介绍让我豁然开朗：
什么是特征向量呢，就是在高维空间中，经过了某个矩阵变换之后，保持不变的向量，就是这个矩阵的特征向量。
看不懂？
没关系，一如既往地，我们还是来举个例子。如下图，假设我们有一对向量是下面这个样子的：
经过了一个矩阵变换之后就变成了这个样子：
然后我们再随意的取另一个向量，黄色的箭头：
看看它经过了这个矩阵变换之后的样子：
可以看到，这个黄色的向量经过矩阵变换之后，方向和大小都改变了，注意那个粉色的延长线。
我们接下来再看一个经过了变换之后，方向可以不改变的向量，图中的黄色箭头：
我们可以看到，经过了矩阵变换之后，这个黄色的箭头的方向保持了不变！
重点来了！！！
从物理意义来讲，这种经过了矩阵变换之后，方向依然能保持不变的向量，就是这个矩阵的特征向量，这些特征向量经过变换后大小的改变，就是该特征向量的对应特征值了。
为什么叫这个矩阵的特征向量呢，数学家说了，这是因为咱们只用这一个向量，就能代表这个矩阵的变换，所以叫做特征向量。
可能你又要问了，特征向量有啥用呢？
好的，例子再次登场！
如下图，我们有一个立方体的物体：
我们现在对这个物体进行一波3D 旋转，得到下面这个样子：
虽然我告诉旋转的过程是，红的那一面从右边转到了左边。
但是你可能还是很难想象它到底是怎么转过来的，对吧？
计算机也很难想到！
然后，怎么办呢？
为了直观起见，我们可以想象一下这给它添加一个旋转轴，如下图：
它旋转的时候，就是围绕着这个轴来转的：
你可能会说，行吧，好像能想象出来了。
但是旋转就旋转吧，和特征向量有啥关系呢。
人数学家说了，这个旋转其实就是一种矩阵变换，而这个轴就叫做这个旋转变换的特征向量！
因为在整个变换中，只有这个轴的方向是没有改变的！
也就是说，我们找到了这个轴，也就是特征向量，我们就找到了这个旋转，也就是矩阵变换的最简洁的表征方法！
基于上述的这个理论，在现代的矩阵求解特征向量的运算中，有一个叫 Power 迭代法 的算法被广泛用于计算机求解矩阵的特征向量。
它的原理就是基于——特征向量就是，经过矩阵变换后，方向保持不变的向量。
Power 迭代法 它具体是怎么进行求解一个矩阵的特征向量的呢？非常简单。
我们首先任意选一个向量，对它进行矩阵的变换，然后得到一个新的向量，我们再对这个新的向量进行矩阵变换，如此反复。我们可以想见，经过了无数次的矩阵变换后，向量会趋近于不变。而这就是特征向量的定义——经过矩阵变换后，方向保持不变的向量。
以上，就是我在课余时间对线性代数物理含义的一些总结。
总结
通过线性代数的学习，我的收获很大。一方面，我发现学习一定要多问为什么，把整个事情的来龙去脉摸清楚。如果只是一知半解，那么不仅学的知识很不牢固，学习的时候也会很枯燥。
另一方面，借用万门大学（一个网上课堂）的老师的一句话来说就是：
所以我们学的越多，我们发现自己不懂的东西越多，但是我们的知识体系变大，仍然是一件有趣的事情，因为它可以更好的帮助我们做决策。
以及如果我们不去扩大自己的知识体系，生命实在是太无聊了，翻来覆去就那几种需求。
多多学习新的知识，探索别人没有发现过的乐趣，真的能让人感受快乐。