前言
众所周知，《剑指offer》是一本“好书”。
如果你是个算法菜鸡（和我一样），那么最推荐的是先把剑指offer的题目搞明白。
对于剑指offer题解这个系列，我的写作思路是，对于看过文章的读者，能够做到：
- 迅速了解该题常见解答思路（偏门思路不包括在内，节省大家时间，实在有研究需求的人可以查阅其它资料）
- 思路尽量贴近原书（例如书中提到的面试官经常会要求不改变原数组，或者有空间限制等，尽量体现在代码中，保证读者可以不漏掉书中细节）
- 尽量精简话语，避免冗长解释
- 给出代码可运行，注释齐全，关注细节问题
题目介绍
由 N 个整数元素（有正数也有负数）组成的一维数组 (A[0], A[1],…,A[n-1], A[n])，这个数组有很多连续子数组，那么其中数组之和的最大值是什么呢？
子数组必须是连续的。
要求时间复杂度O(n)
解题思路
方法一:暴力枚举子数组
思路
一个长度为n的数组，共有n(n+1)/2个子数组，计算出所有子数组的和，最快需要O(n^2)的时间复杂度，虽然完成了计算，但是时间复杂度不符合。
方法二：找规律
思路
思路如原书给出的如下表格，主要思想是：
- 记录两个数，最大的子数组和+累加子数组和
- 遍历数组，随时更新最大的子数组和
- 一旦累加数为负数，直接放弃，将累加子数组和设置为0
代码
public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
if (array.length == 0) {
return 0;
}
int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
int curSum = 0;
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
if (curSum <= 0) {
curSum = array[i];
} else {
curSum += array[i];
}
if (curSum > maxSum) {
maxSum = curSum;
}
}
return maxSum;
}
方法三：动态规划
思路
如果你还不熟悉动态规划，先去了解下动态规划吧~
也可以戳这里看我的动态规划算法题总结：
https://blog.csdn.net/qqxx6661/article/details/79951989
回到这题，动态规划表达式是：
dp[i] = dp[i-1] + s[i] (dp[i-1] >= 0)
dp[i] = s[i] (dp[i-1] < 0)
可以从下表看出这题的规律：
list -2 1 -3 4 -1 2 1 -5 4
current -2 1 0 4 3 5 6 1 5
m -2 1 1 4 4 5 6 6 6
代码
public int FindGreatestSumOfSubArray_2(int[] array) {
if (array.length == 0) {
return 0;
}
// 新建动态规划数组
int[] dp = new int[array.length+1];
// 由于下方遍历从1开始，先写入第一个数进dp[0]
dp[0] = array[0];
// 设置最大值：由于最开始的是array[0]，后面如果是负数肯定更小，如果是整数肯定变大
int maxSum = array[0];
for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
dp[i] = Math.max(array[i], array[i]+dp[i-1]);
if (dp[i] > maxSum) {
maxSum = dp[i];
}
}
return maxSum;
}
总结
这题方法二和方法三其实异曲同工啦，是一道比较简单的题~
拓展问题
最大子矩阵问题
给定一个矩阵（二维数组），其中数据有大有小，请找一个子矩阵，使得子矩阵的和最大，并输出这个和。
思路：
原始矩阵可以是二维的。假设原始矩阵是一个3 * n 的矩阵，那么它的子矩阵可以是 1 * k, 2 * k, 3 * k，（1 <= k <= n）。 如果是1*K，这里有3种情况：子矩阵在第一行，子矩阵在第二行，子矩阵在第三行。如果是 2 * k，这里有两种情况，子矩阵在第一、二行，子矩阵在第二、三行。如果是3 * k，只有一种情况。
为了能够找出最大的子矩阵，我们需要考虑所有的情况。假设这个子矩阵是 2 * k, 也就是说它只有两行，要找出最大子矩阵，我们要从左到右不断的遍历才能找出在这种情况下的最大子矩阵。如果我们把这两行上下相加，情况就和求“最大子段和问题” 又是一样的了。