对数函数与指数函数:2016年文数全国卷C题21

对数函数:2016年文数全国卷C题21

设函数 .

(Ⅰ)讨论 的单调性;

(Ⅱ)证明当 时,;

(Ⅲ)设 ,证明当 时,.


【解答问题Ⅰ】

函数 的定义域为 .

当 , 函数 单调递增;

当 , 函数 单调递减;

当 , 函数取得最大值 .


【解答问题Ⅱ】

根据问题Ⅰ 的结论可知:

当 时,函数单调递减,所以

所以

又因为 ,
所以

此函数的定义域为 ,

当 ,函数 单调递增;

所以,当 ,

综上可得:当 时,


【解答问题Ⅲ:证法一】

因为 , 根据问题Ⅱ 的结论可得:

,

所以, 单调递增.

因为

且 在区间 单调递增,所以,

存在 , 使得

对于 , ∴ ;

对于 , ∴ ;

综上可得:当 时,, 也就是:

. 证明完毕.


【解答问题Ⅲ:证法二】

从幂函数角度分析。

为不变参数且

为变量且

显然,

,

又∵ , ∴

函数 在区间 上单调递减, 所以, ,

,

. 证明完毕.


【提炼与提高】

本题三问,考查内容较为全面,尤其是问题三,解法很有典型性。值得重视。

(1)利用导函数讨论函数的单调性,这是常规操作。

(2)在某些问题中,需要二次求导。如证明方法一所示,根据 的正负性讨论 的单调性。

(3)证法一的特色在于:根据 的正负性判断 的单调性和零点个数,从而将我们关注的区间分为两段。在两个区间中分别讨论,最后再整合结论,完成证明。

(4)证法二的特色在于:改变了看问题的角度。将 看作是幂函数而不是指数函数。从上面的解答过程来看,证法二显得更简洁一些。对于多数中学生来说, 代表变量而 代表常量。长期形成了这个习惯,要换过来并不容易。

是指数函数, 是变量, 是常量;其导函数

是幂函数, 是常量, 是变量;其导函数

最后强调一下:题海战术不可取;一题多解效率高。


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