线性规划问题及单纯形法-线性规划问题的求解方法

线性规划问题的求解方法

两种方法
1.图解法（两个变量使用直角坐标、三个变量使用立体坐标）
2.单纯形法（适用于任意变量，但需将一般形式编程标准形式）

2图解法
建立直角坐标（x1，x2>=0），图中阴影部分及边界上的点均为其解，是由约束条件来反映的。
将约束条件画完，会形成一个区域，该区域即约束条件，所限定的可行域范围，目标函数在可行域范围内移动，找到相交的部分，找到最大值或最小值，有可能最值，即在线段的端点处，也在线段的内部。

例题1：

（1）首先，作图，画出x1和x2两个变量的坐标系，非负变量应该>=0，所以应该是在坐标轴的第二区域。然后再画约束，画第一个约束，判断<=12【对于这条线段来说，<12处在下方，>12在上方，=12在这条直线上。可以通过上下平移这条直线，使其y值等于任何一个值，那么通过直线上下平移，可以取到平面内所有点的。所以验证<12是在上方还是下方，应该随便找一个不在直线上的点，带入直线公式，看值是>12，还是<12】，那么应该在线段的下方，因为可以将（0,0）带入发现小于12

（2）将所有的约束都画出来，那么会得到一个凸集，即蓝色所围成的区域。

凸集的特点是：空间内的任意两点的连线都在这个区域内。会得到一个可行域。下面图片中阴影部分为可行集

（3）将目标函数画出来，作为标准，向上或向下平移，得到最优解。下图中红色的线是目标函数，最优解是（4,2）处，最优解是Z=14。

可以得到以下结论，如果线性规划问题有最优解，那么通常会在可行集的边缘处得到。
例题2、

最优解和可行域边缘处重合，那么有无穷多最优解。
例题3、

目标函数向上平移的时候，没有找到最优值，即是无界解。
例题4、

此约束形成的区域，没有交集，所以他是无可行解。（无可行域）
练习1.下面的是练习，你可以自己做，之后将可行域得到。找到最优解。

线性规划性质
（1）线性规划问题的可行域都是凸集。【若有可行域，那么一定是凸集】。
如果集合C中任意两个点X1和X2，其连线上点aX1+(1-a)X2也都是C中的点，则C为凸集。【集合C中的任意两点的连线，其连线上的点都是C中的点，则C为凸集】

（2）如果线性规划存在最优解，则最优解一定是在凸集的某一顶点实现。（这个顶点可能是一个点【最优解】，或者是一个线段【无穷多最优解】）

本文所写内容参考链接：
1.https://www.bilibili.com/video/BV1jy4y1g77R?p=1&share_medium=android&share_plat=android&share_source=COPY&share_tag=s_i×tamp=1625575455&unique_k=bvcAWM