【图形学数学基础】矢量

只介绍一些重要些的基本概念，作为复习。

矢量

Vector 是构成2D,3D数学的正式数学单元，在数学中称为向量，在几何物理中称为矢量

矢量包含大小和方向。矢量的大小指矢量的长度，矢量可以具有任意非负长度。矢量的方向描述矢量在空间中所指方向。

矢量并没有位置，可以选择在任何地方的图形上表示它们。

矢量表示了一种位移，并且是相对位移

零矢量

零矢量表示为0，其并未任何方向和长度，表示一种无位移的状态。

法线

通常指的是垂直某物的矢量，由于垂直不需要长度，所以常用单位矢量。

矢量点积

两个矢量的点积是相应的分量乘积之和，得到的是一个标量
$$\begin{gathered} \text{a}\cdot \text{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y(a,b为二维矢量) \\ \text{a}\cdot \text{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z(a,b为三维矢量) \end{gathered}$$

点积可以给出两个矢量的大致方向，如果点积大于0则在同侧，等于零垂直，小于0夹角大于90度
点积的结合律,在一定程度上说明了投影的长度：
$$（k\text{a}）\cdot \text{b}=k(\text{a}\cdot \text{b})=\text{a}\cdot (k\text{b})$$
缩放a对b投影到a长度无影响。

点积具有下面的几何属性：

• 点积$\text{a}\cdot \text{b}$ 相当于$\text{b}$投影到$\text{a}$上的长度值 再乘$\text{a}$的长度
• 点积用来测量特定方向上的位移
• 投影运算和余弦函数密切相关。点积$\text{a}\cdot \text{b}$也等于$\Vert \text{a}\Vert \Vert \text{b}\Vert cos\theta$,其中，$\theta$是矢量间的角度

矢量的叉积

与点积不同，叉积只能在三维中使用，并且顺序是不可交换的，叉积产生的结果是矢量。

[ x 1 y 1 z 1 ] × [ x 2 y 2 z 2 ] = [ y 1 z 2 − z 1 y 2 z 1 x 2 − x 1 z 2 x 1 y 2 − y 1 x 2 ] \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right ] \times \left[ \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array} \right ] = \left[ \begin{array}{c} y_1z_2 - z_1y_2 \\ z_1x_2-x_1z_2 \\ x_1y_2-y_1x_2 \end{array} \right ] ​x1​y1​z1​​ ​× ​x2​y2​z2​​ ​= ​y1​z2​−z1​y2​z1​x2​−x1​z2​x1​y2​−y1​x2​​ ​
叉积和点积具有相同的运算优先级，但是当一起使用时叉积有限，因为其结果还是个矢量。

$$\Vert a\times b\Vert =\Vert a\Vert \Vert b\Vert sin\theta$$

叉积的几何解释相当于，结果为$\text{a}$和$\text{b}$组成的平行四边形的面积