「线性DP」牛牛的旅游纪念品

牛牛的旅游纪念品

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/24213/1016

题目描述

但是牛牛的背包有限，他只能在商店的n个物品里面带m个回去，不然就装不下了。

并且牛牛希望买到的纪念品不要太相似，所以导购小姐姐帮助牛牛把纪念品全部排成了一行，牛牛只需要让选出来要买的m个物品中任意两个的位置差都大于等于k就行了。

现在告诉你这n个物品排成一行之后的受欢迎程度（可能是负数），求牛牛带回去的m个物品的最大欢迎度之和。

输入描述

第一行三个数n,m,k
接下来一行,有n个整数,是n个物品按顺序的受欢迎程度。

输出描述

输出一个数为题目所求的最大和

样例

#1

4 2 2
2 4 -6 1

5

提示

• $n\le 10000，m\le 100，m\le n$，答案保证在int范围内，保证按照题目要求一定能取到m个物品

解析

• 原问题：求 n 个物品，选择 m 个合法物品，使其获得最大欢迎值

• 子问题：求前 i 个物品中，选择 m 个合法物品，使其获取最大欢迎值

• DP 定义：前 i 个物品中，选择 m 个合法物品，获取的最大欢迎值

• DP 方程：$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-k][j-1]+A[i])$

  前者是选择物品 A[i] ，后者是不选择物品 A[i]

• DP 初始化：$dp[i][j]=-INF$ 、$dp[0][0]=0$

AC Code

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt(), k = sc.nextInt();
        int[] A = new int[10005];
        int[][] dp = new int[10005][105];
        for(int i = 0; i <= n; i++) Arrays.fill(dp[i], -1 << 30);
        for(int i = 1; i <= n; i++) A[i] = sc.nextInt();
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            for(int i = 1; i <= n; i++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j]; // 不选择物品 A[i]
                if(j == 1) dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], A[i]); // 前 i 个选 1 个的情况
                // 不选择物品 A[i]，和选择物品 A[i]
                if(i - k > 0) dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-k][j-1] + A[i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[n][m]);
    }
}