模型的灵敏性分析

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一个简单的数学规划求最大值问题：

一头猪重 200 磅，每天增重 5 磅，饲养每天需花费 45 美分。猪的市场价格为每磅 65 美分，但每天下降 1 美分，求出售猪的最佳时间。
求：y=f（x）=（0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x最大值时的x值
（8，133.20 ）为f 在整个实轴上的全局极大值点

灵敏度分析

数据是由测量， 观察有时甚至完全猜测得到的， 因此，我们要考虑数据不准确的可能性。
上例中，生猪现在的重量，现在的价格，每天饲养花费都很容易测量，而且有相当大的确定性。 但是猪的生长率则不那么确定， 而价格的下降率则确定性更低，记 r 为价格的下降率， 现在假设 r 的实际值不同， 对几个不同的 r 值重复前面的求解过程， 我们会对问题的解关于 r 的敏感程度有所了解。 下表给出了几个不同 r 值求出的计算结果。 根据表格绘制图形， 我们可以看到售猪的最优时间对参数 r 很敏感。
我们将灵敏度数据用相对改变量表示， 例如：r 下降 10%导致了 x 增加了 39%， 而 g 下降了 10%导致了 x 下降了 34%
如果 x 的改变量Δ x，则Δx/x 表示相对改变量。如果 r 改变了Δ r ，导致了x 有Δx 的改变量，则相对改变量的比值为（Δ x/x ）/ （Δr/r ），令Δr →0，我们有（Δ x/x ）/ （Δr/r ）→（ dx/dr ）（r/x ）。我们称这个极限值为 x 对 r 的灵敏度，即为 S（x，r ）。
在售猪问题中， r=0.01 和 x=8 得到 dx/dr=-7/25r 2=-2800，因此 S（x，r ）=(dx/dr)(r/x)=-2800*(0.01/8)=-7/2 ，即若 r 增加 2%，则 x 下降 7%。由于dx/dg=245/2g 2=4.9, 我们有 S（x，g）=(dx/dg)(g/x)=4.9 （5/8 ）=3.0625。于是猪的生长率增加 1%，会导致大约等待 3%的时间再将猪售出。
灵敏度分析的成功应用要有较好的判断力， 通常即不可能对模型中的每个参数都计算灵敏度分析， 也没有特别的要求。 我们需要选择那些有较大不确定性的参数进行灵敏度分析。 对灵敏度系数的解释还要依赖与参数的不确定程度， 主要问题是数据的不确定程度影响答案的置信度。 在这个问题中， 我们通常认为猪的生长率 g 比价格下降率 r 更可靠。如果我们观察了猪或者其他类似动物在过去的生长情况，则 g 有 25%的误差会是很不寻常的，但对 r 的估计有 25%的误差则不足为奇