层次分析法（AHP)Python实现

I. 理论基础

1. 建立层次结构模型

   结构模型包括目标层$O$、准则层$A=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$、方案层$B=\{b_1,b_2,\dots ,b_m\}$；

2. 构建判断(成对比较)矩阵

M a t r i x A = [ r 1 , 1 r 1 , 2 … r 1 , n r 2 , 1 r 2 , 2 … r 2 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ r n , 1 r n , 2 … r n , n ] Matrix_A = \left[ \begin{matrix} r_{1,1} & r_{1,2} & \ldots & r_{1,n} \\ r_{2,1} & r_{2,2} & \ldots & r_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n,1} & r_{n,2} & \ldots & r_{n,n} \\ \end{matrix} \right] MatrixA​= ​r1,1​r2,1​⋮rn,1​​r1,2​r2,2​⋮rn,2​​……⋱…​r1,n​r2,n​⋮rn,n​​ ​

其中，$r_{i,j}=\frac{1}{r_{j,i}}$，$r_{i,i}=1$

3. 层次单排序与一致性检验

   3.1 计算权重

   （1）若采用均值法计算权重，则首先计算列归一化矩阵：
   N o m a l i z e M a t r i x A = [ n r 1 , 1 n r 1 , 2 … n r 1 , n n r 2 , 1 n r 2 , 2 … n r 2 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ n r n , 1 n r n , 2 … n r n , n ] NomalizeMatrix_A = \left[ \begin{matrix} nr_{1,1} & nr_{1,2} & \ldots & nr_{1,n} \\ nr_{2,1} & nr_{2,2} & \ldots & nr_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ nr_{n,1} & nr_{n,2} & \ldots & nr_{n,n} \\ \end{matrix} \right] NomalizeMatrixA​= ​nr1,1​nr2,1​⋮nrn,1​​nr1,2​nr2,2​⋮nrn,2​​……⋱…​nr1,n​nr2,n​⋮nrn,n​​ ​
   其中，$n{r}_{i,j}=\frac{r_{i,j}}{S_j},S_j={\sum }_{i=1}^n{r}_{i,j},j=1,2,\dots ,n$

   然后再计算权重，为：
   $$W=\{w_1,w_2,\dots ,w_n\}$$
   其中，$w_i=\frac{{\sum }_{j=1}^{n}n{r}_{i,j}}{n},i=1,2,\dots ,n$

   （2）若采用几何法计算权重，则首先按行求积，再计算1/n次幂，计算公式为：
   $$w_i=\sqrt[n]{\prod _{j=1}^n{r}_{i,j}},i=1,2,\dots ,n$$

   然后再对各权重进行归一化处理，计算如下：
   $$\overline{w_i}=\frac{w_i}{{\sum }_{i=1}^n{w}_i}$$

$$W=\{\overline{w_1},\overline{w_2},\dots ,\overline{w_n}\}$$

3.2 计算判断矩阵特征根

（1） 计算加权矩阵

W e i g h t M a t r i x A = [ w r 1 , 1 w r 1 , 2 … w r 1 , n w r 2 , 1 w r 2 , 2 … w r 2 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ w r n , 1 w r n , 2 … w r n , n ] WeightMatrix_A = \left[ \begin{matrix} wr_{1,1} & wr_{1,2} & \ldots & wr_{1,n} \\ wr_{2,1} & wr_{2,2} & \ldots & wr_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ wr_{n,1} & wr_{n,2} & \ldots & wr_{n,n} \\ \end{matrix} \right] WeightMatrixA​= ​wr1,1​wr2,1​⋮wrn,1​​wr1,2​wr2,2​⋮wrn,2​​……⋱…​wr1,n​wr2,n​⋮wrn,n​​ ​
其中，$w{r}_{i,j}=r_{i,j}\times w_j,j=1,2,\dots ,n$

(2) 对加权矩阵按行求和,然后再除以权重，从而得到特征根向量
$$\lambda =\{\frac{{\sum }_{j=1}^{n}w{r}_{1,j}}{w_1},\frac{{\sum }_{j=1}^{n}w{r}_{2,j}}{w_2},\dots ,\frac{{\sum }_{j=1}^{n}w{r}_{n,j}}{w_n}\}$$

4. 计算一致性指标CI值

$$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$$

其中，$CI=0$表示判断矩阵完全一致，$CI$越大，判断矩阵的不一致性程度越严重。

5. 根据CI和RI值求解CR值，判断其一致性是否通过

   Satty模拟1000次得到的随机一致性指标RI取值如下表所示：

矩阵阶数n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51	1.54	1.56

$$CR=\frac{CI}{RI}$$
当$CR<0.1$，表明判断矩阵$A$的一致性程度被认为在容忍范围内，此时可用$A$的特征向量开展权向量计算；若$CR\ge 0.1$，则应考虑对判断矩阵$A$进行修正。

6. 计算方案层到指标层的权重

   6.1 建立方案层到指标层的各个方案在每一个指标的两两对比矩阵：
   B k = [ b 1 , 1 k b 1 , 2 k … b 1 , m k b 2 , 1 k b 2 , 2 k … b 2 , m k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m , 1 k b m , 2 k … b m , m k ] , k = 1 , 2 , … , m B^k=\left[ \begin{matrix} b_{1,1}^k & b_{1,2}^k & \ldots & b_{1,m}^k \\ b_{2,1}^k & b_{2,2}^k & \ldots & b_{2,m}^k \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m,1}^k & b_{m,2}^k & \ldots & b_{m,m}^k \\ \end {matrix} \right] ,k=1,2,\ldots,m Bk= ​b1,1k​b2,1k​⋮bm,1k​​b1,2k​b2,2k​⋮bm,2k​​……⋱…​b1,mk​b2,mk​⋮bm,mk​​ ​,k=1,2,…,m

   6.2 按照上述操作，计算各个方案的权重
   $$V_k=\{v_{k,1},v_{k,2},\dots ,v_{k,m}\},k=1,2,\dots ,m$$

   最终得到方案到指标的权重矩阵
   V = [ v 1 , 1 v 1 , 2 … v 1 , m v 2 , 1 v 2 , 2 … v 2 , m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ v n , 1 v n , 2 … v n , m ] V=\left[ \begin{matrix} v_{1,1} & v_{1,2} & \ldots & v_{1,m} \\ v_{2,1} & v_{2,2} & \ldots & v_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{n,1} & v_{n,2} & \ldots & v_{n,m} \\ \end {matrix} \right] V= ​v1,1​v2,1​⋮vn,1​​v1,2​v2,2​⋮vn,2​​……⋱…​v1,m​v2,m​⋮vn,m​​ ​
   6.3 进行层次总排序一致性判断
   $$C{I}_i=\frac{{\lambda }_{max}^i-n}{n-1},i=1,2,\dots ,n$$

$$CR=\frac{w_{1}C{I}_1+w_{2}C{I}_2+\dots +w_{n}C{I}_n}{w_{1}R{I}_1+w_{2}R{I}_2+\dots +w_{n}R{I}_n}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{w}_{i}C{I}_i}{{\sum }_{i=1}^n{w}_{k}R{I}_i}=\frac{CI}{RI}$$

7. 计算各个方案的综合评分结果
   $$S{L}_k=\sum _{i=1}^n{w}_i{v}_{i,k},k=1,2,\dots ,m$$

---

参考文献

Thomas L. Saaty. How to make a decision: The Analytic Hierarchy Process. European Journal of Operation Research,19990,48,9-26.

II. 实现流程

AHP实现流程如下：

III. Python

import numpy as np
from functools import reduce

def ahp_method(dataset, wd = 'm'):
    # 随机一致性指标R.I.（inc_rat）
    inc_rat  = np.array([0, 0, 0, 0.58, 0.9, 1.12, 1.24, 1.32, 1.41, 1.45, 1.49, 1.51, 1.48, 1.56, 1.57, 1.59])
    # 数据深复制
    X        = np.copy(dataset)
    # 生成权重向量
    weights  = np.zeros(X.shape[1])
    # 根据权重计算方法来确定各个权重
    if (wd == 'm' or wd == 'mean'):  #均值
        weights  = np.mean(X/np.sum(X, axis = 0), axis = 1)
    elif (wd == 'g' or wd == 'geometric'):  #几何
        for i in range (0, X.shape[1]):
            weights[i] = reduce( (lambda x, y: x * y), X[i,:])**(1/X.shape[1])
        weights = weights/np.sum(weights)      
    # 计算特征根向量
    vector   = np.sum(X*weights, axis = 1)/weights
    # 获得平均特征根
    lamb_max = np.mean(vector)
    # 计算一致性指标
    cons_ind = (lamb_max - X.shape[1])/(X.shape[1] - 1)
    # 一致性判断
    rc       = cons_ind/inc_rat[X.shape[1]]
    return weights, rc

IV. 测试

案例参考[https://zhuanlan.zhihu.com/p/448412538]

指标层包括：景色($A_1$)、费用($A_2$)、住宿($A_3$)、饮食($A_4$)、交通($A_5$)

方案层包括：苏杭($B_1$)、北戴河($B_2$)、桂林($B_3$)

通过专家打分以及构建以下判断矩阵：

判断矩阵A:

	景色	费用	住宿	饮食	交通
景色	1	5	5	$\frac{1}{3}$	8
费用	$\frac{1}{5}$	1	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	2
住宿	$\frac{1}{5}$	4	1	$\frac{1}{5}$	3
饮食	3	6	5	1	6
交通	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	1

得分矩阵分别为：

A 1 = [ 1 2 5 1 2 1 2 1 5 1 2 1 ] , A 2 = [ 1 1 3 1 8 3 1 1 3 8 3 1 ] , A 3 = [ 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 ] , A 4 = [ 1 1 3 4 1 3 1 1 1 4 1 1 ] , A 5 = [ 1 1 1 4 1 1 1 4 4 4 1 ] A_{1}=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ \frac{1}{2} & 1 & 2 \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{2} & 1 \\ \end{matrix} \right] ,A_{2}=\left[ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{8} \\ 3 & 1 & \frac{1}{3} \\ 8 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right] ,A_{3}=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1 \\ \end{matrix} \right] ,A_{4}=\left[ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{3} & 4 \\ \frac{1}{3} & 1 & 1 \\ \frac{1}{4} & 1 & 1 \\ \end{matrix} \right] ,A_{5}=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 4 & 4 & 1 \\ \end{matrix} \right] A1​= ​121​51​​2121​​521​ ​,A2​= ​138​31​13​81​31​1​ ​,A3​= ​1131​​1131​​331​ ​,A4​= ​131​41​​31​11​411​ ​,A5​= ​114​114​41​41​1​ ​

测试代码：

##
A = np.array([
    [1,5,5,1/3,8],
    [1/5,1,1/4,1/6,2],
    [1/5,4,1,1/5,3],
    [3,6,5,1,6],
    [1/8,1/2,1/3,1/6,1],
])
A_1 = np.array([
    [1,2,5],
    [1/2,1,2],
    [1/5,1/2,1],
])
A_2 = np.array([
    [1,1/3,1/8],
    [3,1,1/3],
    [8,3,1],
])
A_3 = np.array([
    [1,1,3],
    [1,1,3],
    [1/3,1/3,1],
])
A_4 = np.array([
    [1,1/3,4],
    [1/3,1,1],
    [1/4,1,1],
])
A_5 = np.array([
    [1,1,1/4],
    [1,1,1/4],
    [4,4,1],
])

# 计算权重和RI
weight_A,RC_A = ahp_method(A)
print('A的权重为：',weight_A)
print('A的RC为：',RC_A)
print()

weight_A1, RC_A1 = ahp_method(A_1)
weight_A2, RC_A2 = ahp_method(A_2)
weight_A3, RC_A3 = ahp_method(A_3)
weight_A4, RC_A4 = ahp_method(A_4)
weight_A5, RC_A5 = ahp_method(A_5)
print('A1的权重为：',weight_A1)
print('A1的RC为：',RC_A1)
print('A2的权重为：',weight_A2)
print('A2的RC为：',RC_A2)
print('A3的权重为：',weight_A3)
print('A3的RC为：',RC_A3)
print('A4的权重为：',weight_A4)
print('A4的RC为：',RC_A4)
print('A5的权重为：',weight_A5)
print('A5的RC为：',RC_A5)

## 构建V矩阵
V = np.vstack((weight_A1,weight_A2,weight_A3,weight_A4,weight_A5))
print(V)

scores = np.matmul(weight_A,V)
print('综合评分为：',score

测试结果：

A的权重为： [0.30685018 0.06313468 0.12601939 0.45879775 0.04519801]
A的RC为： 0.09521589663079191

A1的权重为： [0.59488796 0.27661064 0.1285014 ]
A1的RC为： 0.004774741975367846
A2的权重为： [0.08199023 0.23644689 0.68156288]
A2的RC为： 0.0013293778439305783
A3的权重为： [0.42857143 0.42857143 0.14285714]
A3的RC为： 0.0
A4的权重为： [0.48036759 0.26858814 0.25104428]
A4的RC为： -0.18508347602743516
A5的权重为： [0.16666667 0.16666667 0.66666667]
A5的RC为： 0.0
[[0.59488796 0.27661064 0.1285014 ]
 [0.08199023 0.23644689 0.68156288]
 [0.42857143 0.42857143 0.14285714]
 [0.48036759 0.26858814 0.25104428]
 [0.16666667 0.16666667 0.66666667]]
综合评分为： [0.46965078 0.28457497 0.24577426]